为什么要作积分变量代换 π-x=θ 使 ∫(π/2,π)(sinθ)^8dθ=∫(0,π/2)(sinx)^8dx？

永远

我们知道在计算定积分时，当不知道定积分在积分区间上是否对称时可把它根据需要拆分成2部分。例如:\(\displaystyle\int_0^\pi  {{{\sin }^8}\theta d\theta  = } \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^8}\theta d\theta  + } \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {{{\sin }^8}\theta d\theta } \)

其中在计算\(\displaystyle\int_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {{{\sin }^8}\theta d\theta } \)时，令\(\displaystyle\pi  - x = \theta\)得：

\(\displaystyle\int_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {{{\sin }^8}\theta d\theta }  = \int_{\frac{\pi }{2}}^0 {{{\sin }^8}(\pi  - x)d(\pi  - x)}  = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)。

我的问题是：为什么要令\(\displaystyle\pi  - x = \theta\) 而不是其它形式，感觉这样令法不像区间再现，不知道是不是坐标平移啥思想，这样做的思路是什么，原理是什么。

luyuanhong

因为在区间 (0,π/2) 上 (sinx)^n 的积分 ∫(0,π/2)(sinx)^ndx 已经有现成的公式。

现在要求在区间 (π/2,π) 上  (sinθ)^8 的积分 ∫(π/2,π)(sinθ)^8dθ ，我们自然会

想到要把它化为在区间 (0,π/2) 上的积分。

而变换  π-x=θ 能把 θ∈(π/2,π）变成 x∈ (0,π/2) ，而且由于正弦函数满足

sinθ=sin(π-x)=sinx  ，能把正弦函数变成正弦函数，可见这样的变换完全符合

要求，所以会采用这样的变换。