数论难题解答之三

费尔马1

数论难题解答
山东省兰陵县磨山镇华岩寺二村 程中战

1. 解丢番图方程a^2+b^2=2c^2
分析：若a^2+b^2=c^2, c^2加系数2，则有a^2+b^2=2×（c／√2）^2，此方程无正整数解，所以，在这种情况下，原不定方程无正整数解。反之，若a^2+b^2≠c^2时，原方程则有正整数解。
不定方程a^2+b^2=2c^2 有两组通解式，这两组通解式包括了所有本原解（即两两互质解）：
（一）        a=（2m^2+4mn+n^2）／2
b=(2m^2-n^2) ／2
c=（2m^2+2mn+n^2）／2
其中，m、n为正整数，n为偶数，且m＞（n√2）／2
（二）        a=（2m^2+4mn+n^2）／2
b=(n^2-2m^2) ／2
c=（2m^2+2mn+n^2）／2
其中，m、n为正整数，n为偶数，且n＞m√2
2.        求证：丢番图方程a^4+b^4=2c^2 无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数。
证明：已经证明丢番图方程a^2+b^2=2c^2 有正整数解，此等式两边同×a^2，
得a^4+a^2b^2=2（ac）^2
若a^2b^2是一个四次幂m^4，则，a、m就有公约数（为a的质因子），与题设矛盾，
故，原不定方程无正整数解。
同理有：
丢番图方程a^6+b^6=2c^2 无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数。
丢番图方程a^8+b^8=2c^2 无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数。
……………………………………………………………………………………
丢番图方程a^(2n)+b^(2n)=2c^2 无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数，n＞1。
3.        求证：丢番图方程a^4+b^4=2^(2n+1)c^2 无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
证明：已经证明丢番图方程a^2+b^2=2c^2 有正整数解，
把这个式子恒等变形，a^2+b^2=2[(2^n c)/2^n]^2 即a^2+b^2=2^(2n+1)（c/2^n）^2
因为c为奇数，所以c/2^n是既约分数，故上式无正整数解。
有a^2+b^2≠2^(2n+1)c^2………………………………………………（1）
（1）式两边同×a^2得   a^4+a^2b^2≠2^(2n+1)（ac）^2……………………（2）
无论a^2b^2是否为一个四次幂，（2）式仍然是一个不等式，所以，a^4+b^4=2^(2n+1)c^2无正整数解。
同理有：
a^6+b^6=2^(2n+1)c^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
a^8+b^8=2^(2n+1)c^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
……………………………………………………………………
a^(2n)+b^(2n)=2^(2n+1)c^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b，n＞1。
4.        求证：丢番图方程（2^na）^4+（2^nb）^4=2^(2n+1)（2^nc）^2 无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
证明：
已经证明丢番图方程a^4+b^4=2c^2无正整数解，其中，a、b、为互质的奇数，c为奇数。
即a^4+b^4≠2c^2…………………………………………………………（1）
把（1）式两边同×2^(4n)得（2^na）^4+（2^nb）^4≠2^(2n+1)（2^nc）^2    证毕
同理有：
（2^na）^6+（2^nb）^6=2^(2n+1)（2^nc）^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
（2^na）^8+（2^nb）^8=2^(2n+1)（2^nc）^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b
…………………………………………………………………………………………
（2^na）^(2n)+（2^nb）^(2n)=2^(2n+1)（2^nc）^2无正整数解，其中，a、b、c都是奇数，a≠b，n＞1。
                                                  2022-12-7

费尔马1

，，，，