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等腰直角ΔACB中,∠C=90°,D,E在AC,CB上,AD=CE,过C作DE垂线交AB于G,求证:CG=DE

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发表于 2022-12-7 22:49 | 显示全部楼层 |阅读模式


如图,等腰直角△ACB中,∠C=90°,D为AC上的一点,E为CB上的一点,且AD=CE,过C作DE的垂线交AB于G,求证:CG=DE。

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发表于 2022-12-8 10:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2022-12-8 10:53 编辑

CE=AD=1, BCG=CDE=θ, AGC=45+θ

(DEC):DE=1sin(θ),DC=cos(θ)sin(θ)

(AGC):CG=(1+cos(θ)sin(θ))sin(45)sin(45+θ)

:CGDE=1

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多谢。  发表于 2022-12-8 11:46
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发表于 2022-12-8 15:41 | 显示全部楼层
CDE=θ,DE=1,DC=cosθ,CE=sinθ

CG=(cosθ+sinθ)sin45sin(θ+45)=1

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漂亮!  发表于 2022-12-8 16:03
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发表于 2022-12-8 16:44 | 显示全部楼层
用同一法可以证明,并且不太难。
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 楼主| 发表于 2022-12-8 17:01 | 显示全部楼层
kanyikan 发表于 2022-12-8 16:44
用同一法可以证明,并且不太难。

是的,有证法如下。

(反证法)如图,作 GH⊥CB,

假若 CG > DE,则由于 △CGH∽△DEC,∴ GH > CE,CH > CD
又 GH = HB,∴ CB = CH +  HB  = CH + GH > CD + CE = CD + AD = CA。
矛盾!所以 CG > DE 并不成立。

同理可证 CG < DE 也不可能。

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发表于 2022-12-8 19:36 | 显示全部楼层


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发表于 2022-12-8 20:18 | 显示全部楼层


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谢谢陆老师指教。  发表于 2022-12-8 20:29
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发表于 2022-12-9 00:29 | 显示全部楼层


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这个证明棒,赞,赞,赞  发表于 2022-12-9 10:00
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发表于 2022-12-9 10:07 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2022-12-8 17:01
是的,有证法如下。

(反证法)如图,作 GH⊥CB,

添了根线,证明起来就降水平了。

比较 ΔECD 与 ΔGHC,  角度=角度, 直角边的和=直角边的和,

即: k(cosθ+sinθ)=p(cosθ+sinθ), 只能是 k=p
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发表于 2022-12-9 13:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 时空伴随者 于 2022-12-9 13:12 编辑

等腰直角△ACB中,∠C=90°,D为AC上的一点,E为CB上的一点,且AD=CE,过C作DE的垂线交AB于F,求证:CF=DE。

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这个证明漂亮,确实漂亮  发表于 2022-12-9 14:22
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