关于函数极限的序列式定义的几个疑问

wufaxian

《数学分析新讲》P94
关于书中内容有以下几点疑问：
1、图中红线“相应的函数值序列{f (xn)} 都以A 为极限”  柯西式的定义关键是\(\forall\varepsilon>0\)  当x-->a时， |f(x)-k|<\(\varepsilon\)    就说k是f(x)是x-->a点的极限
     序列式定义为什么跳过了关键的“ |f(x)-k|<\(\varepsilon\)” 直截给出了“相应的函数值序列{f (xn)} 都以A为极限”。这个定义怎么体现极限的精髓呢？那为什么A是{f(xn)}的极限呢？为什么不是B，不是C呢？

2、为什么柯西式的定义只有一种情况。而序列式定义要有九种情况分别讨论呢？

3、从截图例1来看，完全看不出引入序列式定义有什么好处，从哪里体现出“在某些情况下使用起来颇为方便”？把证明过程中出现的所有xn都换成x，证明过程成立么？我觉得应该也成立啊。感觉xn出现在这里有点画蛇添足吧？

4、序列xn是n-->xn的函数 n\(\in N\) ，N是可数集，那么xn也是可数集。因此用序列式定义的函数极限也仅仅适用于可数集？如果是这样。那么它的适用范围远不如柯西式的定义。柯西式的定义f(x),x\(\in\)R ，适用范围更广，岂不是更好？


书中内容：

关千函数的极限，我们将介绍两种定义方式．第一种是海因(Heine) 提出的序列式定义；第二种是柯西 (Cauchy) 提出的 \(\varepsilon-\delta\)式定义．前一种方式能够统一地处理各种极限问速，在某些情况下使用起来颇为方便；后一种方式有十分洁晰的几何解释，应用尤为普遍．当然，这两种定义是完全等价的．希望读者能够熟练地掌握其中每一种，并且能够在应用时视实际情况的需要灵活地选用最适宜的一种．

13668164639

序列定义有时候用来证明函数极限不存在有特别的效果，只需要找到一个序列，极限不存在即可

wufaxian

13668164639 发表于 2022-12-21 22:00
序列定义有时候用来证明函数极限不存在有特别的效果，只需要找到一个序列，极限不存在即可

谢谢指路，请问有什么经典例题推荐么，能凸显序列式定义的优势。

13668164639

比如证明sin(x)在 x→+∞时极限不存在，取两组序列，一组是 2kπ,k=1,2,3,...，一组是2kπ+(π/2),k=1,2,3,...,
这两组序列的极限一个是 0，一个是 1，不一样，所以sin(x)极限不存在