解程氏方程

yangchuanju · 发表于 2022-12-12 10:40

求方程y^2=1^2+2^2+3^3+……+24^2+x^2的正整数解。
解：1^2+2^2+3^3+……+24^2=70^2，原方程简化为y^2=70^2+x^2, y^2-x^2=70^2,
(y-x)*(y+x)=4900=2*2*5*5*7*7
分别令y-x=2,4,5,7,10,……2450，逐个解之，得4组正整数解：
70^2+1224^2=1226^2
70^2+240^2=250^2
70^2+24^2=74^2
70^2+168^2=182^2

yangchuanju · 发表于 2022-12-12 10:40

上述4组正整数解都是勾股数，但都不是本源勾股数，约去它们中的公约数可得一些小一点的勾股数：
35,612,613
35,120,125
14,48,50
7,24,25
35,12,37
35,84,91
10,24,26
5,12,13
其中有4组本源勾股数（互素勾股数）：5,12,13；7,24,25；12,35,37；35,612,613。

yangchuanju · 发表于 2022-12-12 10:41

在上面的4组本源勾股数中有3组弦与股相差1的勾股数：5,12,13；7,24,25；35,612,613。
经计算知，存在大量的弦与股相差1的勾股数，当勾等于3,5,7，……，2n+1时总能找到一组弦与股相差1的勾股数，
在勾股弦都不超过10000时，共有70组：
序勾股弦
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
14 29 420 421
15 31 480 481
16 33 544 545
17 35 612 613
18 37 684 685
19 39 760 761
20 41 840 841
21 43 924 925
22 45 1012 1013
23 47 1104 1105
24 49 1200 1201
25 51 1300 1301
26 53 1404 1405
27 55 1512 1513
28 57 1624 1625
29 59 1740 1741
30 61 1860 1861
31 63 1984 1985
32 65 2112 2113
33 67 2244 2245
34 69 2380 2381
35 71 2520 2521
36 73 2664 2665
37 75 2812 2813
38 77 2964 2965
39 79 3120 3121
40 81 3280 3281
41 83 3444 3445
42 85 3612 3613
43 87 3784 3785
44 89 3960 3961
45 91 4140 4141
46 93 4324 4325
47 95 4512 4513
48 97 4704 4705
49 99 4900 4901
50 101 5100 5101
51 103 5304 5305
52 105 5512 5513
53 107 5724 5725
54 109 5940 5941
55 111 6160 6161
56 113 6384 6385
57 115 6612 6613
58 117 6844 6845
59 119 7080 7081
60 121 7320 7321
61 123 7564 7565
62 125 7812 7813
63 127 8064 8065
64 129 8320 8321
65 131 8580 8581
66 133 8844 8845
67 135 9112 9113
68 137 9384 9385
69 139 9660 9661
70 141 9940 9941
……

yangchuanju · 发表于 2022-12-12 11:01

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-13 04:50 编辑

股与弦相差2的勾股数：
序勾股弦
0 4 3 5
1 6 8 10
2 8 15 17
3 10 24 26
4 12 35 37
5 14 48 50
6 16 63 65
7 18 80 82
8 20 99 101
9 22 120 122
10 24 143 145
11 26 168 170
12 28 195 197
13 30 224 226
14 32 255 257
15 34 288 290
16 36 323 325
17 38 360 362
18 40 399 401
19 42 440 442
20 44 483 485
21 46 528 530
22 48 575 577
23 50 624 626
24 52 675 677
25 54 728 730
26 56 783 785
27 58 840 842
28 60 899 901
29 62 960 962
……
严格地说，第0组数字不应算数。
序号为偶数的是本源（互素）勾股数，
序号为奇数的不是本源勾股数，含公约数2。

yangchuanju · 发表于 2022-12-12 11:13

股与弦相差3的勾股数：
序勾股弦
1 9 12 15
2 15 36 39
3 21 72 75
4 27 120 123
5 33 180 183
6 39 252 255
7 45 336 339
8 51 432 435
9 57 540 543
10 63 660 663
11 69 792 795
12 75 936 939
……
都不是本源（互素）勾股数，皆含公约数3。

lusishun · 发表于 2022-12-12 12:20

热烈庆贺，程先生的方程引起杨老师的重视与参与

yangchuanju · 发表于 2022-12-13 04:59

股与弦相差4的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中或含公约数2，或含公约数4；
股与弦相差5的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中都含公约数5；
股与弦相差6的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中或含公约数3，或含公约数6；
股与弦相差7的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中都含公约数7；
股与弦相差8的勾股数中既有本源勾股数，也有非本源勾股数，各组勾股数中的公约数分别是1,4,8；
股与弦相差9的勾股数中既有本源勾股数，也有非本源勾股数，各组勾股数中的公约数分别是1,9；
股与弦相差10的勾股数中无本源勾股数，各组勾股数中或含公约数5，或含公约数10；……

yangchuanju · 发表于 2022-12-13 05:00

股与弦相差8的勾股数：
序勾股弦 gcd
1 12 5 13 1
2 16 12 20 4
3 20 21 29 1
4 24 32 40 8
5 28 45 53 1
6 32 60 68 4
7 36 77 85 1
8 40 96 104 8
9 44 117 125 1
10 48 140 148 4
11 52 165 173 1
12 56 192 200 8
13 60 221 229 1
14 64 252 260 4
15 68 285 293 1
16 72 320 328 8
17 76 357 365 1
18 80 396 404 4
19 84 437 445 1
20 88 480 488 8
21 92 525 533 1
22 96 572 580 4
23 100 621 629 1
24 104 672 680 8
25 108 725 733 1
26 112 780 788 4
27 116 837 845 1
28 120 896 904 8
29 124 957 965 1
……

yangchuanju · 发表于 2022-12-13 05:01

股与弦相差9的勾股数：
序勾股弦 gcd
1 15 8 17 1
2 21 20 29 1
3 27 36 45 9
4 33 56 65 1
5 39 80 89 1
6 45 108 117 9
7 51 140 149 1
8 57 176 185 1
9 63 216 225 9
10 69 260 269 1
11 75 308 317 1
12 81 360 369 9
13 87 416 425 1
14 93 476 485 1
15 99 540 549 9
16 105 608 617 1
17 111 680 689 1
18 117 756 765 9
19 123 836 845 1
20 129 920 929 1
……

yangchuanju · 发表于 2022-12-13 05:04

1^2+2^2+3^3+……+24^2=70^2；
在1000万范围内除了n=24以外，没有再找到一个n内全部正整数的平方和是一个完全平方数的数字。

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