【答】二次方程 x^2-2xy+y^2-8x-8y+60=0 确定的是一条什么样的曲线？

dodonaomikiki

x^2-2xy+y^2-8x-8y+60=0，看不出什么图形？是不是椭圆？实在太尖长啦



实在看不出来，会不会是一个椭圆？

dodonaomikiki

坐标放小一点，
图形倒不尖锐！还比较缓和

dodonaomikiki

方程如下： \(  x^2-2xy+y^2-8x-8y+60=0                             \)
本来以为作图出来，
这是一个椭圆，
结果一作图，
让人犯难极啦

波斯猫猫

做变换：令x=xˊ+yˊ，x=xˊ-yˊ〈因只需判断曲线的类型），代入化简得yˊ^2-4xˊ+15=0，即抛物线。

luyuanhong

luyuanhong

下面是网友 天山草 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

dodonaomikiki

对5楼\(luyuanhong\)老师的德尔塔部分，
进行了重新计算



\(Set:   a=1,  b=-1,   c=1  ,d=-4,  e=-4,  f=60\)


\begin{align*}
\Delta=\begin{bmatrix} a & b&d    \\  b & c&e    \\  d & e&f    \\                   \end{bmatrix}\\
&=acf+bed+bed-cd^2-e^2a-b^2f\\
&=60+2(-1)(-4)(-4)-(-4)^2-(-4)^2-60\\
&=60-32-16-16-60\\
&=-2  \bullet   32\\
&=-64\neq0  \\
\end{align*}

dodonaomikiki

观察出来。就应该是45度~~~~~~~然后立即作这种变化呢！

dodonaomikiki

波斯猫猫 发表于 2022-12-12 19:26
做旋转变换：令x=xˊ+yˊ，x=xˊ-yˊ，代入化简得yˊ^2-4xˊ+15=0，即抛物线。

根据猫猫的提示来搞一哈


   \(          Set:X=a+b   ,Y=a-b                        \)


   \(  \Longrightarrow        (a+b-a+b)^2+4b^2+60=0           \)



   \(   \Longrightarrow            4b^2-8\bullet   2a+60=0           \)


   \(   \Longrightarrow            b^2-4a+60=0           \)




踩奶抛物线也！

dodonaomikiki

一转正，
就比较好看啦！