构造任意长的二次等差素数数列

白新岭

白新岭老师：您好！
今在浏览其它博贴时偶然得到欧拉1772年得到的可产生40个连续素数的二次三项式x^2+x+41，当x=0-39时都是素数，
经分析，该40生素数群的邻距为2,4,6,8……78，首素数是41，尾素数是1601，总跨距1560。
用检验k生素数群的检验方法，分别用素数3,5,7，……47检验，当项数（生数）等于40时均能通过各个素数检验，这是当然的。
将素数串改成以0开头的数列（改后它是一个40生素数群的间距表达式），亦能通过各个素数的检验；
再将这个数列向后延伸至50生，100生皆能通过各个素数的检验；
看来这个数列可以任意延长，亦即存在任意生邻距是2,4,6,8，……的素数群，并且这样的素数群应该是无穷多的，
只是首素数是哪个素数现无法知道（肯定首素数不再是41了）。
请白老师检验检验我的说法对不对。
如正确能否找到一个大于40生的素数群，最后找到首素数或尾素数。
我，白新岭点评：你的分析非常在行。依据这种思路可以构造更长的素数式链条（即以0开头的素数式）。理论是这样，但是，能不能找到是另一回事。  发表于 2021-3-2 18:25
                 点评2：存在跨度为444的81生素数。为了不影响蔡家雄先生的光顾，只能借yangchuanju先生这块宝地了。  发表于 2021-3-2 21:18
[原创]k生素数群的数量公式
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 6&fromuid=37263
(出处: 数学中国)
来自连接的：140页，1391#

白新岭

邻距        素数式
0        0
2        2
4        6
6        12
8        20
10        30
12        42
14        56
16        72
18        90
20        110
22        132
24        156
26        182
28        210
30        240
32        272
34        306
36        342
38        380
40        420
42        462
44        506
46        552
48        600
50        650
52        702
54        756
56        812
58        870
60        930
62        992
64        1056
66        1122
68        1190
70        1260
72        1332
74        1406
76        1482
78        1560
80        1640
82        1722
84        1806
86        1892
88        1980
90        2070
92        2162
94        2256
96        2352
98        2450
100        2550
102        2652
104        2756
106        2862
108        2970
110        3080
112        3192
114        3306
116        3422
118        3540
120        3660
122        3782
124        3906
126        4032
128        4160
130        4290
132        4422
134        4556
136        4692
138        4830
140        4970
142        5112
144        5256
146        5402
148        5550
150        5700
152        5852
154        6006
156        6162
158        6320
160        6480
162        6642
164        6806
166        6972
168        7140
170        7310
172        7482
174        7656
176        7832
178        8010
180        8190
182        8372
184        8556
186        8742
188        8930
190        9120
192        9312
194        9506
196        9702
198        9900
200        10100
202        10302
204        10506
206        10712
208        10920
210        11130
212        11342
214        11556
216        11772
218        11990
220        12210
222        12432
224        12656
226        12882
228        13110
230        13340
232        13572
234        13806
236        14042
238        14280
240        14520
242        14762
244        15006
246        15252
248        15500
250        15750
252        16002
254        16256
256        16512
这是有欧拉\(X^2+X+41\),当x取0至39时，二次多项式的值皆为素数，邻距正好是一次等差数列，0,2,4,6,8，....；而素数式的间距（与第一个素数之间的差距）0.2,6,12,20,30,42，....；正好构成二次等差数列，即每一项是等差数列的前n项和\(S_n\).

白新岭

素数        占用        剩余
3        2        1
5        3        2
7        4        3
11        6        5
13        7        6
17        9        8
19        10        9
23        12        11
29        15        14
31        16        15
37        19        18
41        21        20
43        22        21
47        24        23
53        27        26
59        30        29
61        31        30
67        34        33
71        36        35
73        37        36
79        40        39
83        42        41
89        45        44
97        49        48
101        51        50
103        52        51
107        54        53
109        55        54
113        57        56
127        64        63
131        66        65
137        69        68
139        70        69
149        75        74
151        76        75
157        79        78
163        82        81
167        84        83
173        87        86
179        90        89
181        91        90
191        96        95
193        97        96
197        99        98
199        100        99
211        106        105
223        112        111
227        114        113
229        115        114
233        117        116
239        120        119
241        121        120
251        126        125
257        129        128
263        129        134
269        129        140
271        129        142
277        129        148
281        129        152
283        129        154
因为素数式的项数为：256/2+1=128+1=129项，所以，后边的占用剩余类的个数为129（只有129个不同素数式）。
           而对于其余素数而言（3,5,7,11，....）来说，数列无论多长，所占剩余类的个数最多为：\((P+1)\over 2\),即占一半多0.5。
          在统计所占剩余类个数时，用到一个Excel函数：SUMPRODUCT(1/COUNTIF(C2:C130,C2:C130))
对公式的解释：3、公式首先通过countif函数统计所有重复的单元格，然后使用以去除countif的结果得到数组，最后使用函数“SUMPRODUCT”得到最终的个数。

白新岭

我们通过vfp程序，或许可以找到更长的：\(X^2+X+P\)二次等差素数数列，可以把P增大，然后，找到更长的二次等差素数数列。

大傻8888888

“欧拉1772年得到的可产生40个连续素数的二次三项式x^2+x+41，当x=0-39时都是素数，
经分析，该40生素数群的邻距为2,4,6,8……78，首素数是41，尾素数是1601，总跨距1560。”
因为x^2+x+41=x（x+1）+41
当x=0-39时，x（x+1）分别是0,2,,6,12……1560，这个40生素数群的素数是41,43,47,53……1601，可以明显看出这个40生素数群的素数不是等差素数数列，而是其中相邻的两个素数的邻距为2,4,6,8……78
考虑这样一个二次三项式x^2+x+B  当x=0-39时都要求是素数
根据x（x+1）分别是0,2,,6,12……1560
首先B必须是一个素数
同时B+2,B+6,B+12……1560都是素数才能得出这样的40生素数群
这样根据B+2，B必须是孪生素数的前面那个素数，并且这个素数的尾数只能是1或者7，如11,17,41,71,101,107这样的孪生素数的前面那个素数。不能是3或者9，这是因为尾数是3或者9，B+2或者B+6就会是5的倍数而不可能是素数。
另外根据B+6,B+12……1560，B还必须是二生素数B+6,B+12,B+20……1560的前面那个素数
按照同样的方法可以把这个数列向后延伸至50生，100生以及存在任意生邻距是2,4,6,8，……的素数群
当然第二个40生素数群首素数是哪个素数现在还无法知道，但是可以认为这样的素数群应该是无穷多的，并且它的计算式子的主项应该是 N / （lnN）^40

yangchuanju

欧拉二次三项式素数链x^2+x+p总是被p^2打断，当p=5时素数链长4——5,7,11,17；p=11时素数链长10——11,13,17,23,31,41,53,67,83,101；分别被5^2=25和11^2=121打断。
又p=41时被41^2打断；看来不可能用无限长的欧拉二次三项式素数链。
至今尚未找到大于41的二次三项素数链。

本贴中丢了二次三项式素数链中的重要一个，n^2+n+17，当n=0-16时也都是素数。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-12-16 16:33
欧拉二次三项式素数链x^2+x+p总是被p^2打断，当p=5时素数链长4——5,7,11,17；p=11时素数链长10——11,13,1 ...

      欧拉二次三项式素数链x^2+x+p=x（x+1）+p，可以看出当x=p-1，x^2+x+p=x（x+1）+p=p（p-1）+p=p^2是p的倍数，所以欧拉二次三项式的x最大只能是p-1，素数链长为p-1。
     虽然不可能用无限长的欧拉二次三项式构成素数链，但是有可能找到大于41的二次三项素数链的素数p，构成p-1个素数组成的素数链，并且这样间距的p-1个素数链应该有无穷多。

yangchuanju

鲁思顺2n^2+2n+19也是一条重要的素数链，给定n=0,1,2,3……，前18项都是素数。
第19项703=19*37=19*(2*19+1）不再是素数，再向后链条中亦含有多个素数。

类似素数链还有2n^2+2n+3,  2n^2+2n+7，链长分别是2和6，在p=11-97的素数中没有再找到相似的素数链。

2n^2+2n+p与2n^2-2n+p的区别：
2(n+1)^2-2(n+1)+p=2n^2+4n+2-2n-2+p=2n^2+2n+p
两种表达式中的参变量相差1。
同样n^2+n+p与n^2-n+p相比也相差1：
(n+1)^2-(n+1)+p=n^2+2n+1-n-1+p=n^2+n+p

n        2n^2+2n+19      
0        19        素数
1        23        素数
2        31        素数
3        43        素数
4        59        素数
5        79        素数
6        103        素数
7        131        素数
8        163        素数
9        199        素数
10        239        素数
11        283        素数
12        331        素数
13        383        素数
14        439        素数
15        499        素数
16        563        素数
17        631        素数
18        703        =19*37
19        779        =19*41
20        859        素数
21        943        =23*41
22        1031        素数
23        1123        素数
24        1219        =23*53
25        1319        素数

yangchuanju

又找到一组二次式10n^2+19，当n=0-18时的19个数都是素数，又多了一级。               
n        10n^2+19       
0        19        素数
1        29        素数
2        59        素数
3        109        素数
4        179        素数
5        269        素数
6        379        素数
7        509        素数
8        659        素数
9        829        素数
10        1019        素数
11        1229        素数
12        1459        素数
13        1709        素数
14        1979        素数
15        2269        素数
16        2579        素数
17        2909        素数
18        3259        素数
19        3629        =19*191
20        4019        素数

yangchuanju

然而8n^2=8n+31仅当n=0-13时为连续素数（14个）：               
n         8*n^2+8*n+31        分解式
0        31        31 is prime
1        47        47 is prime
2        79        79 is prime
3        127        127 is prime
4        191        191 is prime
5        271        271 is prime
6        367        367 is prime
7        479        479 is prime
8        607        607 is prime
9        751        751 is prime
10        911        911 is prime
11        1087        1087 is prime
12        1279        1279 is prime
13        1487        1487 is prime
14        1711        1711=29*59
15        1951        1951 is prime
16        2207        2207 is prime
17        2479        2479=37*67
18        2767        2767 is prime
19        3071        3071=37*83
20        3391        3391 is prime
21        3727        3727 is prime
22        4079        4079 is prime
23        4447        4447 is prime
24        4831        4831 is prime
25        5231        5231 is prime
26        5647        5647 is prime
27        6079        6079 is prime
28        6527        6527=61*107
29        6991        6991 is prime
30        7471        7471=31*241
31        7967        7967=31*257
32        8479        8479=61*139
33        9007        9007 is prime
34        9551        9551 is prime
35        10111        10111 is prime
36        10687        10687 is prime
37        11279        11279 is prime
38        11887        11887 is prime
39        12511        12511 is prime
40        13151        13151 is prime
41        13807        13807 is prime
42        14479        14479 is prime