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在 RtΔCAB 中,∠A=90°,角平分线 AF,BE,CD 交于内心 I,CE=15,BD=10,求 AI

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发表于 2022-12-16 15:14 | 显示全部楼层 |阅读模式


如图,Rt△CAB 中,∠CAB=90°,AE、CD 分别为 ∠B、∠C 的角平分线,AE、CD 相交于 I。若 CE=15,BD = 10,求 AI。

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发表于 2022-12-16 19:30 | 显示全部楼层
     三角函数解题有那么困难吗?  记 ∠ ICA = a,  4个未知数4个方程。

Solve[{10/Sin[Pi/4] = IB/Cos[a], IB/Sin[Pi/4] = IA/Sin[Pi/4 - a],
           15/Sin[Pi/4] = IC/Cos[Pi/4 - a], IC/Sin[Pi/4] = IA/Sin[a],

{{a -> -2 ArcTan[3 - Sqrt[10]], IA -> 6 Sqrt[2], IB -> 6 Sqrt[5],  IC -> 6 Sqrt[10]}}

化简一下。 2个未知数2个方程。

Solve[{IA = (10 Cos[a] Sin[Pi/4 - a])/Sin[Pi/4]^2 = (15 Sin[a] Cos[Pi/4 - a])/Sin[Pi/4]^2,

{{a -> -2 ArcTan[3 - Sqrt[10]], IA -> 6 Sqrt[2]}}

再化简。

点评

嗯,使用 MMA 是一招。  发表于 2022-12-16 19:32
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 楼主| 发表于 2022-12-16 20:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2022-12-16 20:06 编辑
王守恩 发表于 2022-12-16 19:30
三角函数解题有那么困难吗?  记 ∠ ICA = a,  4个未知数4个方程。

Solve[{10/Sin = IB/Cos[a], IB ...


最后的式子倒是挺漂亮,不知能不能手工解。毕竟是初中生给过来的一道考题,给难住了。

IA/2 = 10 cos(α) sin(45°-α) = 15 sin(α) cos(45°-α)


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发表于 2022-12-17 00:51 | 显示全部楼层

希望看到更简单的方法。

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参与人数 1威望 +10 收起 理由
uk702 + 10 很给力!

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发表于 2022-12-17 01:03 | 显示全部楼层


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发表于 2022-12-17 06:27 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2022-12-16 20:04
最后的式子倒是挺漂亮,不知能不能手工解。毕竟是初中生给过来的一道考题,给难住了。

IA/2 = 10 co ...

再化简就是太简单,通通吃了。

IA=nm2n+m    n=10,  m=15,   n,m 

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参见 11 楼,11楼完美地给你这个式子一个几何解析。  发表于 2022-12-17 10:28

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参与人数 1威望 +10 收起 理由
uk702 + 10 太完美了!

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 楼主| 发表于 2022-12-17 07:28 | 显示全部楼层
多谢大家,各位的解答都比我的强。我磨了整整一天,勉强整了个解答。

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 楼主| 发表于 2022-12-17 07:41 | 显示全部楼层
题目来源估计是经典的:

若  tanα=12 tanβ=13 \alpha+\beta=45°

从这方面想不知能否构造出几何含义的证法。
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 楼主| 发表于 2022-12-17 08:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2022-12-17 08:01 编辑
kanyikan 发表于 2022-12-17 00:51
希望看到更简单的方法。


你这个解答很好!进一步可简化为:

设 IG 为 △BCI 的高,算出 x=9, y=8 之后,知 BC=24, AC=18, AB=30(勾股定理)

一方面 S_{△ABC} = 1/2 × 24 × 18 = 216
另一方面   S_{△ABC} =S_{△ABI} + S_{△BCI} + S_{△CAI} = 1/2 × (AB+ BC+ CA) × IG ,解得 IG = 6 。

IC=6\sqrt{2}
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发表于 2022-12-17 09:53 | 显示全部楼层
楼上 kanyikan 的解答很好!已收藏。
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