全体自然数立方倒数和

常量

我们知道，全体自然数平方倒数和\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)是欧拉证明的，那么全体自然数立方倒数和\(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots=？\)有谁研讨过吗？

Nicolas2050

早就研究过了。1978年，Roger Apery证明:全体自然数的立方倒数和是一个无理数。全体自然数的立方倒数和就被被称为“Apery常数”。要学会查文献。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

永远

又发现一个在研究黎曼zeta函数的网友，主贴是在黎曼zeta函数等于3时候的特例

https://blog.csdn.net/weixin_41871524/article/details/108569591

https://baike.so.com/doc/7563188-7837281.html


百科上这句话很诱人：

其它
如果你想要非常准确严格地理解 "黎曼ζ 函数"和黎曼猜想(Riemann Hypothesis, 又译黎曼假设，这是迄今为止数学中最大的未解之谜，悬赏100万美元)，参见谢国芳老师对黎曼本人首次引入复变量的 "黎曼ζ 函数"和提出黎曼猜想的原始论文《论小于某给定值的素数的个数》(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse)的中文译注。


黎曼zeta函数的特列：

\[\displaystyle {\left. {\zeta \left( s \right)} \right|_{s = 3}} = {\left. {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^3}}}} } \right|_{s = 3}} = 1 + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{4^3}}} + \frac{1}{{{5^3}}} +  \cdots  = \int_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 - x} \right)\ln x}}{x}dx} \]

常量

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常量

\(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\cdots=\frac{1}{2}\int_0^{_{\ \ \ \frac{\left( （\ln x\right)^2}{1-x}}^1}dx\)