二阶非齐次常系数微分方程的解可以合并嘛

travellerxuqi

二阶非齐次微分方程的解 由 齐次解 和 非齐次通解两项组成。
当齐次的特征根为两个虚数时，我观察解的图像时发现：1、齐次解的曲线是个幅值指数衰减的正弦，非齐次解的曲线是个标准正弦，2、解的曲线是个幅值为二阶系统阶跃响应的正弦。
直觉上来说，从图像上判断 解的两项应该可以合并成一项，写成上述2的形式，但是怎么合并呢？

travellerxuqi

图像中 real 是最终的解， transient是齐次解，steady是非齐次解，envelop是解的包络线。

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如图所示