讨论：对 L(x,y)=ax+by+c （a^2+b^2>0）, 问区域 L(x,y) > 0 怎么确定？

elim

讨论：对 L(x,y)=ax+by+c (a^2+b^2>0), 已知 L=0 是直线,  问区域 L(x,y) > 0 怎么确定？

lihp2020

如果是我
就在直线外一点 带入   ax+by+c  看看是否大于0  如果 是 那么这点 一侧 的区域都大于0  (另一侧就小于0)
如果不是  同理
=0  其实 就是线上  
以前 老师教过 怎么判断 ( 大概是 如果 ab 满足什么 偏上  如果ab满足什么 偏下）但是 我认为 我这个方法带入值验证 简单明了 也不用背诵

mathmatical

\(^{^{ }}b^2+a^2>0{,}\)，有啥意义呢？

lihp2020

两个 不同时为 0  在计算机经常这样搞  
if(a*a+b*b>0)  和 if(a!=0 || b!=0)等价
但是  在代码检查的时候 后面 进行代码覆盖的时候 覆盖性测试 就要写
a==0 b！=0  
a！=0 b==0
a==0 b==0
a！=0 b！=0
4个覆盖测试
而第一个不用

elim

mathmatical 发表于 2022-12-21 20:44
\(^{^{ }}b^2+a^2>0{,}\)，有啥意义呢？

就是说a,b不同时为0.

elim

lihp2020 发表于 2022-12-21 20:25
如果是我
就在直线外一点 带入   ax+by+c  看看是否大于0  如果 是 那么这点 一侧 的区域都大于0  (另一 ...

您这个办法很好，也很可靠．

elim

闲聊直线 \(\small L(x,y)=0\;\small(L(x,y):=ax+by+c,\;a^2+b^2>0)\).
设 \(\small L(x_0,y_0)=0\) 则 \(\small L(x,y)=0\iff a(x-x_0)+b(y-y_0)=0,\)
故\(\small L(x,y)=0\)的通解是\(\small(x,y)=(x_0,y_0)+t(b,-a)\;(t\in\mathbb{R}),\)形成
过\(\small(x_0,y_0)\)与\(\small(a,b)\)垂直的直线\(L^*.\)

\(\because\;\small\dfrac{a^2+b^2}{\max^2(|a|,|b|)}\ge 1,\) 对\(\;\lambda=\small\dfrac{|c|+1}{\max^2(|a|,|b|)}\) 恒有
\(\quad\;\small L(\lambda a,\lambda b) = \dfrac{(|c|+1)(a^2+b^2)}{\max^2(|a|,|b|)}+c\ge|c|+1+c\ge 1>0.\)
\(\quad\;\)故\(L(x,y)\ge 0\) 是以\(\,L^*\) 为边界, 含点\(\,\small(\lambda a,\lambda b)\) 的半平面.

点\((\lambda a,\lambda b)\) 是相当造作，但具一般性。

elim

由\((b-ia)i=a+ib\) 知道 方向\((a,b)\)由方向\(\color{red}{(b,-a)}\)逆时针转九十度而得.
所以有向直线  \((x,y)=(x_0,y_0)+t\color{red}{(b,-a)}\) 的左边是半平面 \(L(x,y)>0\)