无尽小数可看成是递增的、有界数列的极限，是一个定数

金瑞生

     论坛上有人不能正确看待无尽小数，将无尽小数看成是递增的、有界收敛数列的简写，而不是一个定数。我认为这种观点必须修正，应该将无尽小数看成是递增的、有界收敛数列的极限，是一个定数。例如0.99999......作为极限值，是一个定数，它与1之间没有其它实数，于是1=0.99999......。

APB先生

有无限多个 0 的无尽小数 0.0……01；有高阶无限多个 0 的无尽小数 0.00……001；……；有超限多个 0 的无尽小数 0.0……01；………………。

elim

楼主阐述了标准分析的结果．有理有据．

elim

设\(a_1,a_2,a_3,\ldots (0\le a_n\le 9)\)为无穷整数序列，现行数学无尽小数的定义是
\(0.a_1a_2a_3\ldots a_m\ldots=\displaystyle\lim_{k\to\infty}a_1a_2\ldots a_k=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\frac{a_n}{10^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{10^n}\)
这与主贴的见解完全一致．

elim

APB先生 发表于 2022-12-24 04:47
有无限多个 0 的无尽小数 0.0……01；有高阶无限多个 0 的无尽小数 0.00……001；……；有超限多个 0 的无 ...

APB 先生举出的东西可能存在于有待先生阐明的新数系中．但它们既不是有限小数也不是有限小数序列的极限，不属于实数系也不属于非标准分析的超实数系．所以楼主断言0.999…=1还是正确的．

APB先生的网站我进不去．对先生的改革一无所知．

APB先生

是先有 0.1，然后才能有 0.9；同理，是先有 0.0……01，然后才能有 0.9999……；1=0.999……，是不懂数学常识的猪脑等式。

春风晚霞

1=0.999……是实数理论的入门基础，参见菲赫金戈尔茨《数学分析原理》第一卷第一分册P8页13至15行;菲赫金戈尔茨《微积分学教程》第一卷第一分册P13页13至14行;华东师大《数学分析》上册P1页9至17行;吉林师大《数学分析讲义》P129页第4至6行;……，1=0.999……是正确的，也是自洽的。正确理解这个等式有助于对《数学分析》后继课程的进一步学习！

金瑞生

APB先生 发表于 2022-12-25 19:39
是先有 0.1，然后才能有 0.9；同理，是先有 0.0……01，然后才能有 0.9999……；1=0.999……，是不懂数学常 ...

       例如0.999,,,,,,是无穷数列0.9，0.99，0.999，......的极限，是一个实常数，它与1之间没有其它实数，于是1=0.999......

elim

楼主基本上是对的，但无尽小数可以看作什么不可以看作什么颇具主观性，我们还是先澄清无尽小数这个概念。
无尽小数是实数的十进制值的表达形式. 它是一个理论测量的结果，\(\sqrt{2}=1.41421356237309504880168\ldots\) 表示长度为\(\sqrt{2}\)含\(1\)个\(10^0\)单位，剩下的部分含\(4\)个\(10^{-1}\)单位，再剩下的部分含\(1\)个\(10^{-2}\)单位，等等等等，依次类推. 古人证明了这种逐次测量不会在有限步结束，但:测量误差会随测量步数不断增加而趋向于0。所以\(1.41421356237309504880168\ldots=\sqrt{2}\) 是定数.

elim

APB先生 发表于 2022-12-25 04:39
是先有 0.1，然后才能有 0.9；同理，是先有 0.0……01，然后才能有 0.9999……；1=0.999……，是不懂数学常 ...

无尽小数小数点后的每个位置都前面都只有有限个位置。所以小数点后无穷多个0再跟个1这种表达式不是无尽小数也没有办法释义。它不是有限小数的运算结果，也不是有限小数序列的极限。所以它不是任何已知数系意义上的数.