无误差之双筛求哥猜

yangchuanju

无误差之双筛求哥猜
崔坤多次强调双筛法求哥猜素数对没有误差，对此不太理解，现终于弄明白了其中的道理。
以前本人所用的双筛法异常复杂繁琐，特别是对于稍大一点的偶数就没有实用性。
实际上求偶数n的哥猜数就是求双筛之筛余数对，可先将n表示成n/2个奇数对，用集{q,n-q}表示，
数对集中的q=1,3,5，……，n-1；n-q=n-1，n-3，n-5，……，5,3,1；
分别对数对集中的各个奇数附加一个标记数，若q或n-q是素数标1，否则标0，再将两个标记数相乘，得数是1或0，
统计两标记的乘积中的1的个数，就是偶数n的双计哥猜素数对数，且不用再进行误差调整。
这是因为你已将奇数对中的1标记为0，自然最终的1的个数中不再包含1+p和p+1了，
你已将根内素数标记为1，在双筛过程中小素对（p和n-p）被保留，不用再补加。
筛分表达式简记为：Σ{q01*(n-q)01}，式中q01——若q是素数则1，否则0；(n-q)01——若n-q是素数则1，否则0。
5列数据大表可用集合符号{q,q01,(n-q),(n-q)01,q01*(n-q)01}表示，再相加求出乘积中1的个数即可。

正常情况下筛分进行的n根内的最大素数即可，实际上按上述方法，筛分到n内最大素数也无妨。
反之若只用少数几个素数pk筛分（k=1,2，……i），操作中将{q,n-q}中的不是pk倍数的奇数q及n-q标为0，其余都是1了，
它们实际上保留的是与pk互素的奇数对，不全是素数对，且要进行误差调整。

yangchuanju

话好说，办起来确难之又难，例如n=100002，将其5万零1对奇数对都写出来，已经达到Excel表格长度的上限；
100002内有9591个奇素数，如何给50001个奇素对中的100002个奇数都标上1或0，也要费一番周折；
q        q01        n-q        (n-q)01        q01*(n-q)01
1        0        100001        0        0
3        1        99999        0        0
5        1        99997        0        0
7        1        99995        0        0
9        0        99993        0        0
11        1        99991        1        1
……                               
99997        0        5        1        0
99999        0        3        1        0
100001        0        1        0        0
50001个        9591个1        50001个        9591个1        2846个1
即得100002的双计哥猜素数对等于2846。                               

yangchuanju

亦或将n折半计算，表格长度减少一半，或能够计算的数字扩大一倍，
但必须根据n/4是不是整数分别处理，当n/4不是整数时两列奇数列的最后一行都是n/2，
还需注意，这样求出来的筛余数对是单计哥猜素数对。
q        q01        n-q        (n-q)01        q01*(n-q)01
1        0        100001        0        0
3        1        99999        0        0
5        1        99997        0        0
7        1        99995        0        0
9        0        99993        0        0
11        1        99991        1        1
……                               
49997        0        50005        1        0
49999        1        50003        0        0
50001        0        50001        0        0
25001个        5132个1        25001个        4459个1        1423个1

cuikun-186

杨老师不愧为计算机方面的专家，总能找到问题的主要矛盾，化繁为简！


我为本论坛有杨老师这样的专家点赞！

yangchuanju

用双筛法求哥猜数是一个好办法，不产生误差，
然而你能求算多大的偶数？
10万，你能算；100万，你还能算；1000万、1万万（亿）呢？
恐怕你算不了了！

必须寻找其它的捷径——简便算法。连乘积就是这样出现的。
偶数n内大约含有1/3个3的倍数，1/5个5的倍数，1/7个7的倍数，……；
偶数n的奇数对中大约含有1/3或2/3个含3的奇数对，1/5或2/5个含5的奇数对，1/7或2/7个含7的奇数对，……；
将所有奇数对中的含3,5,7……的依次筛除之，剩余奇数对大约为n/2*1/3*3/5*5/7*……或者n/2*2/3*3/5*5/7*……或者……或者……
连乘积中的各个因子究竟取1/3还是2/3，3/5还是4/5，5/7还是6/7……需根据偶数n是不是3,5,7……的倍数确定；
当偶数n是素数p的倍数时取(p-1)/p，n不是p的倍数时取(p-2)/p。连乘积计算式需计算到n的平方根以内的全部素数。

由于n不会含有根内的全部素因子，故连乘积计算式存在一定的误差，并且随着n的增大，误差可能达到20%或以上。
假定n含素因子3,5，但不含素因子7,11……，在前二筛过程中不产生误差，但第三筛、第四筛……就要有误差了，
各筛误差有正有负，有大有小；但总趋势是（误差和累计误差）波动式的增大。

哥猜精确值求不出，于是人们又总结出各种各样的下限表达式：
r2≥√n，r2≥n/ln(n)，r2≥√n/2，r2≥n/4，……
究竟哪个最接近真值，视偶数n的具体类型而定。

进一步，人们感觉到连乘积也无法应用于非常大的偶数，于是哈代等人根据素数定理总结出对数计算式：
r2≈1.32…*∏(p-1)/(p-2)*n/ln(n)^2，这是目前公认的哥猜计算式，式中∏(p-1)/(p-2)中的p|n，3≤p≤√n。

yangchuanju

连乘积误差分析：                                       
对于偶数10014来说，平方根内最大素数是97：                                       
素数        累次        各次        计算        计删        累计
——        删余        删除        删除        -实删        误差
2        5007        5007        5007         0.00         0.00
3        3338        1669        1669         0.00         0.00
5        2004        1334        1335.2         1.20         1.20
7        1432        572        572.57         0.57         1.77
11        1170        262        260.36         -1.64         0.14
13        994        176        180.00         4.00         4.14
17        880        114        116.94         2.94         7.08
19        794        86        92.63         6.63         13.71
23        724        70        69.04         -0.96         12.75
29        674        50        49.93         -0.07         12.68
31        626        48        43.48         -4.52         8.17
37        584        42        33.84         -8.16         0.00
41        556        28        28.49         0.49         0.49
43        532        24        25.86         1.86         2.35
47        508        24        22.64         -1.36         0.99
53        486        22        19.17         -2.83         -1.84
59        470        16        16.47         0.47         -1.37
61        452        18        15.41         -2.59         -3.96
67        442        10        13.49         3.49         -0.46
71        432        10        12.45         2.45         1.99
73        424        8        11.84         3.84         5.82
79        416        8        10.73         2.73         8.56
83        412        4        10.02         6.02         14.58
89        406        6        9.26         3.26         17.84
97        406        0        8.37         8.37         26.21
各次计算删除量减去实际删除量有正有负，筛分素数越大，误差越大；
累计误差波动式地增大，最后达到26.21。

另10014的双计哥猜数是418，累计筛分后为406，应调减0个，调加12个，406+12=418，累筛无误差；
连乘积计算值（含波动因子）384，减累筛剩余406，误差22；
一次计算与多次计算之间也形成一点误差，一次计算误差22，多次计算误差26（更大些）。

cuikun-186

哈代等人根据素数定理总结出对数计算式：

r2≈1.32…*∏(p-1)/(p-2)*n/ln(n)^2，这是目前公认的哥猜计算式，式中∏(p-1)/(p-2)中的p|n，3≤p≤√n。

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王元的文献中说：哈李式 r2(N) ~ 1.3202 [N/(lnN)^2] ∏(p-1)/(p-2) ，是根据【圆法】对优弧、

劣弧微积分导出的，以偶数N为自变量，

以偶数N表示为两个【素数和】的表示法个数r2(N)为渐近函数的关系式。

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我认为这实际上是在丢掉余项谈哥猜计算式，

而真值公式是：r2(N) = 1.3202 [N/(lnN)^2] ∏(p-1)/(p-2)+余项，哥猜之所以难就是数学家们对余项的阶不可估。

这条路早已被大数学家们给予否定，他们呼吁必须给出全新的方法。

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问题归根揭底处在那里？

我认为就出在人们对哥猜的认识上：

第一：歪曲了1是素数这个基本事实，

第二：哥猜问题本质上是回答r2(N)有没有的问题，由于素数的存在公式不存在，

所以要获得精确值的公式是不存在的，

但其存在的真值逻辑公式是存在的，例如崔坤给出的两大真值公式，

实际上数学家们对哈李公式的研究也是在努力需找其内在的逻辑关系，以至于发现余项不可估。

崔坤的文章同样根据素数定理有几处创新之处：在偶数N≥6的前提下：

1、重新约定1是素数，2000多年前古希腊艾拉脱四散筛法中留下的孤岛就是素数

2、全球首次发现两大哥猜数真值方程：

【1】加法：r2(N)=C(N)+2π(N)-N/2

【2】乘法：r2(N)＝（N／2）∏mr

3、奇合数对数密度定理：N趋向于无穷大时，极限limC(N)/N =1/2

4、每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和【三素数定理推论】

Q=3+q1+q2,【q1、q2均为大于等于3的奇素数】

5、每个大于等于11的奇数Q=3+p1+p2=5+p3+p4,【三素数定理推论】
(p1,p2,p3,p4均为大于等于3的奇素数）

6、r2(N^x)=C(N^x)+2π(N^x) - (N^x)/2 是增函数

7、r2(N^（x+1)≥N，推论：r2(N^2)≥N,秒读哥猜数下限值

8、r2(N)=（N/2)∏mr≥[N/(lnN)^2 ]是不减函数

****************

也就是说崔坤的2大逻辑真值公式中没有余项带来的不可估问题，当然顺利成章的完成了1+1之证明

崔坤的公式给出了下限值是唯一正确的，因为在其定义域内没有任何反例。

陈氏定理为什么能够得到世人的认可，我认为是陈氏定理给出了其公式的下限值：

cuikun-186

1、重新约定1是素数，2000多年前古希腊艾拉脱四散筛法中留下的孤岛就是素数

2、全球首次发现两大哥猜数真值方程：

【1】加法：r2(N)=C(N)+2π(N)-N/2

【2】乘法：r2(N)＝（N／2）∏mr

3、奇合数对数密度定理：N趋向于无穷大时，极限limC(N)/N =1/2

4、每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和【三素数定理推论】

Q=3+q1+q2,【q1、q2均为大于等于3的奇素数】

5、每个大于等于11的奇数Q=3+p1+p2=5+p3+p4,【三素数定理推论】
(p1,p2,p3,p4均为大于等于3的奇素数）

6、r2(N^x)=C(N^x)+2π(N^x) - (N^x)/2 是增函数

7、r2(N^（x+1)≥N，推论：r2(N^2)≥N,秒读哥猜数下限值

8、r2(N)=（N/2)∏mr≥[N/(lnN)^2 ]是不减函数

yangchuanju

顶起来，放一块！

cuikun-186

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