无理数是否“不具备最小上界性”

wufaxian

书中给出例子 有理数在 (0，\(\sqrt{2}\)) \(\bigcap Q\)  找不到一个有理数的最小上界。证明过程略

那么我是否可以同样 \(\left( \frac{1}{3}{,}\frac{1}{2}\right)\bigcap CrQ\)   来证明无理数不具备最小上界性呢？

elim

一个序集 M，如果其每个非空上有界的子集 E 都有 \(\sup E\in M\), 就说 M 有最小上界性。
取 \(E=\{r\in\mathbb{Q}:  r^2 < 2\}\), 如果 \(a\in\mathbb{Q}\) 是 \(E\) 的上界，那么 \(\sqrt{2}< a\)
取 \(\small{b=a-}\frac{a^2-2}{a+2}=\frac{2a+2}{a+2}\in\mathbb{Q}\) 则\(\small{b^2-2=}\frac{2(a^2-2)}{(a+2)^2} \)故\(a\)不是\(E\)在\(\mathbb{Q}\)的最小上界。
换言之\(E\)在\(\mathbb{Q}\)中没有最小上界，\(\mathbb{Q}\) 不具有最小上界性。

Nicolas2050

废物，一直再这个层次打转。

wufaxian

Nicolas2050 发表于 2022-12-29 16:53
废物，一直再这个层次打转。

你ma殡仪馆排上号了么

Future_maths

\(\left( \frac{1}{3}{,}\frac{1}{2}\right)\bigcap CrQ\)虽然是无理数集合，但是其最小上界=\(\frac{1}{2}\)

wufaxian

Future_maths 发表于 2022-12-31 16:50
\(\left( \frac{1}{3}{,}\frac{1}{2}\right)\bigcap CrQ\)虽然是无理数集合，但是其最小上界=\(\frac{1}{2} ...

1/2 不是无理数。这不就证明了无理数不具备最小上界性？

Future_maths

最小上界又不需要是无理数。

wufaxian

Future_maths 发表于 2022-12-31 21:14
最小上界又不需要是无理数。

最小上界确实不需要是无理数。但是如果要证明无理数具有“最小上界性”那么就要求一楼例子当中的最小上界是无理数。因为这样才符合“最小上界性”的定义。

wufaxian

elim 发表于 2024-1-13 11:51
一个序集 M，如果其每个非空上有界的自己子集 E 都有 \(\sup E\in M\), 就说 M 有最小上界性。
取 \(E=\{r ...

谢谢你的回复。
你说的对。但是关键是要证明b的存在性吧？

elim

wufaxian 发表于 2024-1-15 18:31
谢谢你的回复。
你说的对。但是关键是要证明b的存在性吧？

一个序集 M，如果其每个非空上有界的子集 E 都有 \(\sup E\in M\), 就说 M 有最小上界性。
对 \(E=\{r\in\mathbb{Q}:  r^2 < 2\}\), 如果 \(a\in\mathbb{Q}\) 是 \(E\) 的上界，那么 \(0< a,\; 2< a^2\)
取 \(\small{b=a-}\frac{a^2-2}{a+2}=\frac{2a+2}{a+2}\in\mathbb{Q}\) 则\(\small{b^2-2=}\frac{2(a^2-2)}{(a+2)^2} \)故\(b\)是在\(\mathbb{Q}\)中比\(a\)更小的\(E\)的上界。
换言之\(E\)在\(\mathbb{Q}\)中没有最小上界，\(\mathbb{Q}\) 不具有最小上界性。