百科全书式的瑞士数学家——欧拉

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百科全书式的瑞士数学家——欧拉

作者 高关中（德国汉堡）2022/12/22

波罗的海沿岸有座普鲁士古城，名哥尼斯堡（德文 Konigsberg ，今属俄罗斯，名加里宁格勒）。市区地势低平，多河道桥梁。古时，普列戈利亚河及其分叉上建有7座桥。一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次，这就是数学上有名的哥尼斯堡七桥问题。很多人为此绞尽了脑汁，直到瑞士大数学家欧拉（1707-1783）把它简化为网络的一笔画问题，然后证明这是办不到的。对此类问题的研究导致了一门新数学分支拓朴学（Topologie ，只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小）的诞生。欧拉在数学上还有很多贡献，后世称誉他为百科全书式的数学家，与德国数学家高斯齐名。

13 岁的神童大学生

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）1707 年 4 月 15 日出生于瑞士大城巴塞尔。父亲是基督教加尔文宗的牧师。欧拉小时候他就特别喜欢数学，不满 10 岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过。可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。有次老欧拉想扩大羊圈，可是篱笆材料不足，羊圈长 40 尺，寛 15 尺，面积 600 平方尺，需要 110 尺篱笆材料，可手头只有 100 尺材料，怎么办呢？小欧拉思考后，提出，只需把羊圈的长和寛都定为 25 尺，那么用 100 尺篱笆材料就能围成 625 平方尺的面积。这使老欧拉对儿子的数学才能大吃一惊。更令人吃惊的是小欧拉见到约翰·伯努利教授时提的问题。他说：“我知道一个数 6 ，它可以分解成 1、2、3、6 几个数，把 1、2、3 加起来等于 6 。还有一个数 28 ，它有约数 1、2、4、7、14、28 ，除去它本身 28 外，其余 5 个数相加，也恰好等于 28 。大伯，还有这样性质的数吗？”然而，教授沉默了，没有正面回答。这样的数叫完全数（Perfect number），是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身。这是一个古老的数学之谜，迄今还没有人知道它的全部奥秘呢！一个小孩子居然提出这样一个有份量的问题，惹得这位蜚声全欧的教授满心欢喜。经过几次考察，教授决定推荐孩子上大学。就这样，1720 年，13 岁的欧拉被巴塞尔大学破格录取。巴塞尔大学建立于 1460 年，是全瑞士第一所大学。小欧拉成为这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。顺便说一句，迄今为止，数学家们共找到 51 个完全数，前 5 个是 6、28、496、8128 和 33550336 。后面的完全数越来越大，其中第 13 个完全数就有 314 位数。欧拉后来在完全数研究方面也有重大贡献，这是后话，不提。

这里再说说约翰·伯努利教授，他并非等闲之辈，而是属于伯努利家族的大数学家。从 17 世纪中叶到 18 世纪后期，在巴塞尔产生过一个数学家族，即伯努利家族（Bernoulli），前后出过 8 位数学家，其中雅各布·伯努利（Jakob I. Bernoulli，1654-1705）以研究对数螺线著称，还为概率论奠定了基础。他死后，弟弟约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748）接替成为巴塞尔大学教授，他以解出悬链线（Kettenlinie）问题著称，还提出了对数论很有用的伯努利数。兄弟俩都是莱布尼茨的朋友，对于微积分的发扬光大均有重要贡献，特别是共同奠定了变分法的基础，他们都是巴塞尔大学的骄傲。而约翰·伯努利正是发现欧拉的伯乐，也是他的导师。

在约翰·伯努利的精心指导、因材施教培育下，欧拉学业精进，成为一名杰出的数学家。1726 年，欧拉完成了他的博士学位论文 De Sono ，内容是研究声音的传播。1727 年，欧拉参加了法国科学院主办的有奖征文竞赛，当年的问题是找出船上的桅杆的最优放置方法。结果他得了二等奖，一等奖为被誉为“舰船建造学之父”的皮埃尔·布格（Pierre Bouguer，1698-1758）所获得，不过欧拉随后在一生中共 12 次赢得该奖项一等奖。

在俄国和普鲁士

这一时期，约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700-1782）受聘在位于圣彼得堡的俄国皇家科学院工作，他在概率论、偏微分方程、物理等方面都有贡献，著有《流体动力学》，书中阐述了“伯努利定律”，即“在水流或气流里，如果速度小，压强就大；如果速度大，压强就小”。就是他推荐欧拉来俄工作。欧拉接受了邀请，于 1727 年 5 月抵达圣彼得堡，被指派到数学/物理学所工作。欧拉与丹尼尔保持着密切的合作关系，并且与丹尼尔住在一起。此时他也开始与担任科学院秘书的德国数学家哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）开始交往，他们之间大量的信件如今成为研究 18 世纪科技史的重要史料。1742 年，哥德巴赫在给欧拉的信中提出哥德巴赫猜想，用现代的数学语言，可以陈述为：“任一大于 2 的偶数，都可表示成两个素数（质数）之和。”这个猜想至今没有完全证明，但我国数学家陈景润取得了最好的结果，即证明了“每个大偶数为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和”。这是题外话。

俄国皇家科学院由彼得大帝于 1724 年创建，在彼得大帝和继任者叶卡捷琳娜一世（Екатерина I ，有时依照英文 Catherine I 译为凯瑟琳一世，1684-1727）主政时期，科学院是一个对外国学者具有吸引力的地方。科学院有充足的资金来源和一个规模庞大的综合图书馆，给予教授们充分的时间及自由，让他们探究科学问题。1733 年欧拉接替回瑞士的丹尼尔成为数学所所长 。1735 年，欧拉还在科学院地理所担任职务，协助编制俄国第一张全境地图。1735 年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。在俄国 14 年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。特别是 1736 年，他完成两卷本巨著《力学》，书中，欧拉为物体的运动规律建立了一整套完整的微分组。人们一致公认，这是牛顿以后的又一个重要里程碑，欧拉被誉为现代分析力学的奠基人。

1734 年 1 月，欧拉迎娶了科学院附属中学的美术教师，瑞士人乔治·葛塞尔（Georg Gsell）的女儿，两人共育有 13 个子女，其中仅有 5 个活到成年 。

此后俄国陷入持续的动乱，1741 年欧拉应普鲁士腓特烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，他在柏林生活了 25 年，研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等等，这些工作和他的数学研究相互推动。这个时期欧拉在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。并在那儿写了不止 380 篇文章。在柏林，他出版了他最有名的两部作品：关于函数方面的文章《无穷小分析引论》，出版于 1748 年；另一部是关于微分的《微积分概论》， 出版于 1755 年。

1766 年，在女沙皇叶卡捷琳娜二世的诚恳敦聘下欧拉重回彼得堡，不料没有多久，两眼完全失明。他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子 A·欧拉（数学家和物理学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，长达 17 年之久。

1783 年 9 月 18 日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉就写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我死了”，欧拉终于“停止了生命和计算”，终年 76 岁。

数学成就

欧拉是享誉世界的数学大师，其渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从 19 岁开始发表论文，直到 76 岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到今天、几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。他对数学分析的贡献更独具匠心， 《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"。还有他的《微分学原理》《积分学原理》都已成为数学中的经典著作。

欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域。他又是一个无与伦比的多产作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，除了教科书外，他的全集有 74 卷。

在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为 19 世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中，有 17 卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。

1734 年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744 年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。

18 世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科。值得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》 。欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。

数论作为数学的一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的。

欧拉将数学分析方法用于力学，在力学各个领域都有特殊贡献，他是刚体动力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。

欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的 17 年间，他还口述了几本书和 400 篇左右的论文。

欧拉是科学史上最多产的杰出数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了 886 本书籍和论文，其中分析、代数、数论占 40% ，几何占 18% ，物理和力学占 28% ，天文学占 11% ，弹道学、航海学、建筑学等占 3% ，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。

他一生大部分时间在俄国和普鲁士度过。但瑞士不忘这个优秀的儿子，10 法郎的钞票上就印着他的头像，这是对这位数学大师的永久纪念。