2 老师 3 学生排成一行，ξ 是两老师之间的学生数，求 ξ=1 的排列种数和 ξ 的期望值

wintex

請問數學



老師2023新年快樂，闔家平安

luyuanhong

题  2 个老师 3 个学生排成一行，ξ 是两老师之间的学生数，求 ξ=1 的排列种数和 ξ 的期望值。

解  不妨暂时先认为老师与老师是无区别的，学生与学生也是无区别的，这样问题就成为：

    在 2+3=5 个位置中，选 2 个位置放老师，其余 3 个位置放学生，共有 C(5,2)=10 种放法。

（1）ξ=0 即老师之间无学生的放法有 4 种：师师生生生，生师师生生，生生师师生，生生生师师。

    所以 P{ξ=0}=4/10=0.4 。

（2）ξ=1 即老师之间有一个学生的放法有 3 种：师生师生生，生师生师生，生生师生师。

    所以 P{ξ=1}=3/10=0.3 。

（3）ξ=2 即老师之间有两个学生的放法有 2 种：师生生师生，生师生生师。

    所以 P{ξ=2}=2/10=0.2 。

（4）ξ=3 即老师之间有三个学生的放法有 1 种：师生生生师。

    所以 P{ξ=3}=1/10=0.1 。

    ξ 的期望值为

    E(ξ)=0×P{ξ=0}+1×P{ξ=1}+2×P{ξ=2}+3×P{ξ=3}=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1 。

    刚才已经求得：ξ=1 即老师之间有一个学生的放法有 3 种。但这是在不考虑老师与老师、

学生与学生区别的情况下求出的结果。而实际上，在老师之间，在学生之间，都是有区别的。

    在考虑区别的情况下，2 个老师有 2! 种不同的排列，3 个学生有 3! 种不同的排列。

    所以 ξ=1 的排列种数有 3×2!×3!= 3×2×6 = 36 种。