双勾股弦定理

yangchuanju

双勾股弦定理
假设a，b，c是X^2+Y^2 =Z^2的一组正整数，
则方程：（XY）^2 +（YZ ）^2 =（ZX）^2的一组正整数是：
Z=bc，X=ac，Y=ab；式中abc是正整数。
解：
Z=bc，X=ac，Y=ab.
XY=aabc, (XY)^2=(abc)^2*a^2；YZ=abbc, (YZ)^2=(abc)^2*b^2；ZX=abcc, (ZX)^2=(abc)^2*c^2。
(XY)^2+(YZ)^2=(abc)^2*(a^2+b^2)=(abc)^2*c^2=(ZX)^2；
例3^2+4^2=5^2，a=3, b=4, c=5;
Z=bc=20，X=ac=15，Y=ab=12.
XY=aabc, (XY)^2=(abc)^2*a^2=(60)^2*3^2；YZ=abbc, (YZ)^2=(60)^2*4^2；ZX=abcc, (ZX)^2=(60)^2*5^2。
(XY)^2+(YZ)^2=(60)^2*(3^2+4^2)=(60)^2*5^2=(ZX)^2。
经检验X=ac，Y=ab，Z=bc是所求方程的一组正整数。——双勾股弦定理现身！

已知3,4,5是X^2+Y^2=Z^2是一组解，
20，15，12不是一组勾股数：
但20*15=300，20*12=240，15*12=180是一组勾股数。

yangchuanju

假设a，b，c是X^3+Y^3 =Z^3的一组解，
则方程：（XY）^3 +（YZ ）^3 =（ZX）^3的一组解是：
Z=bc，X=ac，Y=ab。
解：
Z=bc，X=ac，Y=ab.
XY=aabc, (XY)^3=(abc)^3*a^3；YZ=abbc, (YZ)^3=(abc)^3*b^3；ZX=abcc, (ZX)^3=(abc)^3*c^3。
(XY)^3+(YZ)^3=(abc)^3*(a^3+b^3)=(abc)^3*c^3=(ZX)^3。

违背费马大定理了吗？
费马大定理是什么？——当n大于等于3时a^n+b^n=c^n没有正整数解呀！
这里没有正整数解的要求呀！

验：
由原方程得c=(X^3+Y^3)^(1/3)=(a^3+b^3)^(1/3)
Z=bc，X=ac，Y=ab.
XY=aabc, (XY)^3=(abc)^3*a^3；YZ=abbc, (YZ)^3=(abc)^3*b^3；ZX=abcc, (ZX)^3=(abc)^3*c^3。
(XY)^3+(YZ)^3=(abc)^3*(a^3+b^3)
(ZX)^3=(abc)^3*c^3=(abc)^3*(a^3+b^3)=(XY)^3+(XZ)^3
二级方程的解正确。