鲁思顺公式

lusishun

若a，b，c，d是方程：X^n+Y^n+Z^n=D^n
（其中n等于2，或是3，或是4）.
一组正整数解，
则：X=dac，Y=dab，Z=abc，D=dbc
是方程（XYZ）^n+（yZD）^n+（ZDX）^n=（DXY）^n的正整数解.

（欢迎网友验算）

yangchuanju

鹦鹉学舌
若a，b，c，d、e是方程：X^n+Y^n+Z^n+U^n=V^n
（其中n等于2，或是3，或是4，或是5）.
一组正整数解，
则：X=acde，Y=abde，Z=abce，U=abcd，V=bcde
是方程(XYZU)^n+(YZUV)^n+(ZUVX)^n+(UVXY)^n=(VXYZ)^n的正整数解.
请鲁验证。

yangchuanju

若a，b，c，d、e、f是方程：X^n+Y^n+Z^n+U^n+V^n=W^n
（其中n等于2，或是3，或是4，或是5，或是6）.
一组正整数解，
则：X=acdef，Y=abdef，Z=abcef，U=abcdf，V=abcde，W=bcdef
是方程(XYZUV)^n+(YZUVW)^n+(ZUVWX)^n+(UVWXY)^n+(VWXYZ)^n=(WXYZU)^n的正整数解.
请鲁验证。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-1-3 17:01
若a，b，c，d、e、f是方程：X^n+Y^n+Z^n+U^n+V^n=W^n
（其中n等于2，或是3，或是4，或是5，或是6）.
一组 ...

5.1.4型丢返图方程
27^5+84^5+110^5+133^5        =        144^5
85282^5+28969^5+3183^5+55^5        =        85359^5

5.1.5型丢返图方程：
19^5+43^5+46^5+47^5+67^5        =        72^5       
21^5+23^5+37^5+79^5+84^5        =        94^5       
7^5+43^5+57^5+80^5+100^5        =        107^5       
78^5+120^5+191^5+259^5+347^5        =        365^5       
79^5+202^5+258^5+261^5+395^5        =        415^5       
4^5+26^5+139^5+296^5+412^5        =        427^5       
31^5+105^5+139^5+314^5+416^5        =        435^5       
54^5+91^5+101^5+404^5+430^5        =        480^5       
19^5+201^5+347^5+388^5+448^5        =        503^5       
159^5+172^5+200^5+356^5+513^5        =        530^5       
218^5+276^5+385^5+409^5+495^5        =        553^5       
2^5+298^5+351^5+474^5+500^5        =        575^5       

5.1.6丢返图方程
4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5        =        12^5
5^5+10^5+11^5+16^5+19^5+29^5        =        30^5       
15^5+16^5+17^5+22^5+24^5+28^5        =        32^5       
13^5+18^5+23^5+31^5+36^5+66^5        =        67^5       
7^5+20^5+29^5+31^5+34^5+66^5        =        67^5       
22^5+35^5+48^5+58^5+61^5+64^5        =        78^5       
4^5+13^5+19^5+20^5+67^5+96^5        =        99^5       
6^5+17^5+60^5+64^5+73^5+89^5        =        99^5       

5.1.7丢返图方程
1^5+7^5+8^5+14^5+15^5+18^5+20^5=23^5        

yangchuanju

The smallest 6.1.7 solution is
74^6+234^6+402^6+474^6+702^6+894^6+1077^6=1141^6        

The smallest primitive 6.1.8 solutions are
8^6+12^6+30^6+78^6+102^6+138^6+165^6+246^6
=251^6  
48^6+111^6+156^6+186^6+188^6+228^6+240^6+426^6
=431^6  
93^6+93^6+195^6+197^6+303^6+303^6+303^6+411^6
=440^6  
219^6+255^6+261^6+267^6+289^6+351^6+351^6+351^6
=440^6  
12^6+66^6+138^6+174^6+212^6+288^6+306^6+441^6
=455^6  
12^6+48^6+222^6+236^6+333^6+384^6+390^6+426^6
=493^6  
66^6+78^6+144^6+228^6+256^6+288^6+435^6+444^6
=499^6  
16^6+24^6+60^6+156^6+204^6+276^6+330^6+492^6
=502^6  
61^6+96^6+156^6+228^6+276^6+318^6+354^6+534^6
=547^6  
170^6+177^6+276^6+312^6+312^6+408^6+450^6+498^6
=559^6  
60^6+102^6+126^6+261^6+270^6+338^6+354^6+570^6
=581^6  
57^6+146^6+150^6+360^6+390^6+402^6+444^6+528^6
=583^6  
33^6+72^6+122^6+192^6+204^6+390^6+534^6+534^6
=607^6  
12^6+90^6+114^6+114^6+273^6+306^6+492^6+592^6
=623^6          

The smallest 6.1.9 solution is
1^6+17^6+19^6+22^6+31^6+37^6+37^6+41^6+49^6=54^6        

The smallest 6.1.10 solution is
2^6+4^6+7^6+14^6+16^6+26^6+26^6+30^6+32^6+32^6=39^6        

The smallest 6.1.11 solution is
2^6+5^6+5^6+5^6+7^6+7^6+9^6+9^6+10^6+14^6+17^6=18^6        

There is also at least one 6.1.16 identity,
1^6+2^6+4^6+5^6+6^6+7^6+9^6+12^6+13^6+15^6
+16^6+18^6+20^6+21^6+22^6+23^6=28^6   

yangchuanju

3.1.3型丢返图方程
3^3+4^3+5^3        =        6^3       
1^3+6^3+8^3        =        9^3       
3^3+10^3+18^3        =        19^3       
7^3+14^3+17^3        =        20^3       
4^3+17^3+22^3        =        25^3       
18^3+19^3+21^3        =        28^3       
11^3+15^3+27^3        =        29^3       
2^3+17^3+40^3        =        41^3       
6^3+32^3+33^3        =        41^3       
16^3+23^3+41^3        =        44^3       
3^3+36^3+37^3        =        46^3       
27^3+30^3+37^3        =        46^3       
29^3+34^3+44^3        =        53^3       
12^3+19^3+53^3        =        54^3       
15^3+42^3+49^3        =        58^3       
22^3+51^3+54^3        =        67^3       
36^3+38^3+61^3        =        69^3       
7^3+54^3+57^3        =        70^3       
14^3+23^3+70^3        =        71^3       
34^3+39^3+65^3        =        72^3       
38^3+43^3+66^3        =        75^3       
31^3+33^3+72^3        =        76^3.       

Other small solutions include
28^3+53^3+75^3        =        84^3       
26^3+55^3+78^3        =        87^3       
33^3+70^3+92^3        =        105^3       
1^3+71^3+138^3        =        144^3       
1^3+135^3+138^3        =        172^3       
1^3+372^3+426^3        =        505^3       
1^3+426^3+486^3        =        577^3       
1^3+566^3+823^3        =        904^3       
1^3+242^3+720^3        =        729^3       
1^3+791^3+812^3        =        1010^3       
1^3+236^3+1207^3        =        1210^3       
1^3+575^3+2292^3        =        2304^3       
1^3+1938^3+2820^3        =        3097^3       
1^3+2676^3+3230^3        =        3753^3       
1^3+1124^3+5610^3        =        5625^3       
1^3+2196^3+5984^3        =        6081^3       
1^3+1943^3+6702^3        =        6756^3       
1^3+1851^3+8675^3        =        8703^3       

Y. Kohmoto has found a 3.1.3^9 solution,
2100000^3        =        2046000^3+882000^3+216000^3       
        =        1979600^3+1145400^3+85000^3       
        =        2081100^3+628110^3+1890^3       
        =        2043150^3+901200^3+30450^3       
        =        2002280^3+1072480^3+30360^3       
        =        1960480^3+1199520^3+15200^3       
        =        1948800^3+1229760^3+30240^3       
        =        2078160^3+658812^3+13188^3       
        =        2009112^3+1048040^3+13888^3.

3.1.4 equations include
11^3+12^3+13^3+14^3        =        20^3       
5^3+7^3+9^3+10^3        =        13^3.       

3.1.5 equations include
1^3+3^3+4^3+5^3+8^3        =        9^3       
3^3+4^3+5^3+8^3+10^3        =        12^3,       

and a 3.1.6 equation is given by
1^3+5^3+6^3+7^3+8^3+10^3=13^3.        

The 3.2.2 equation
A^3+B^3=C^3+D^3        
1729        =        1^3+12^3=9^3+10^3       
4104        =        2^3+16^3=9^3+15^3       
13832        =        2^3+24^3=18^3+20^3       
20683        =        10^3+27^3=19^3+24^3       
32832        =        4^3+32^3=18^3+30^3       
39312        =        2^3+34^3=15^3+33^3       
40033        =        9^3+34^3=16^3+33^3       
46683        =        3^3+36^3=27^3+30^3       
64232        =        17^3+39^3=26^3+36^3       
65728        =        12^3+40^3=31^3+33^3

lusishun

看来，在这方面，也是博大精深啊，这么多的解 ，计算机可能是出力了

lusishun

yangchuanju 发表于 2023-1-3 10:42
3.1.3型丢返图方程
3^3+4^3+5^3        =        6^3       
1^3+6^3+8^3        =        9^3       

什么样的数的立方，可以表为三数立方之和呢？
好课题。

lusishun

yangchuanju 发表于 2023-1-3 10:42
3.1.3型丢返图方程
3^3+4^3+5^3        =        6^3       
1^3+6^3+8^3        =        9^3       

左边任给一个什么样的数，能得到三数立方之和为一个数的立方呢？

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-3 17:31
左边任给一个什么样的数，能得到三数立方之和为一个数的立方呢？

3，4，5，6类似于勾股数，3，4，5，
27+64+125=216=6^3，