p 进数：展开有理数，何必是实数？

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p 进数：展开有理数，何必是实数？

长久以来，人们都将“数”等同于“实数” R 。实数就如同当空烈日一般，统治着整个数学世界。文艺复兴时期的代数学家为了解方程，引入了复数 C 。 但即便是复数这样自然的构造，也历经了几百年才被数学界所接受。实数的地位似乎是不可置疑的。到了 19 世纪末 20 世纪初，数学家们惊讶地发现，包含 Z 的完备域不一定是 R ，还有可能是 p 进数 Qp 。Qp 就像是星星，而 R 更像是月亮：月亮固然是夜空中最为明亮的，也时常盖过群星的光辉，但是星星的存在也提示着我们，这个宇宙中有更加辽远的空间等待探索。

撰文 | 张和持

上帝创造了整数，其他都是人类的工作。 ——利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）

p 进数的引入动机



类比整数环 Z 与多项式环 C[X]







为什么叫局部？



定义 Qp



跟现实有什么关系吗？



参考文献

[1] 加藤和也, 黑川信重, 斋藤毅. 数论 I —— Fermat 的梦想和类域论.

[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.