又，突然发现

lusishun

问题，求不定方程
X^2+Y^3=Z^5.
原来的解法 ，因A^24+B^24=C^25，
有，2^24+2^24=2^25，
由此易知：
X=2^12，
Y=2^8，
Z=2^5
一组解，由此可得通解（省略）

突然发现的解法，因A^20+B^21=C^20
易知：
A=a^20-1，
B=a^20-1，
C=a（a^20-1），
由此得：
X=（a^20-1）^10，
Y=（a^20-1）^7，
Z=【a（a^20-1）】^4.
（a是大于1的正整数）
由此可得到的通解（省略）

lusishun

A^16+B^15=C^15，易得，
A=a^15-1，
B=a^15-1，
Z=a（a^15-1），
由此得：
X=（a^15-1）^8，
Y=（a^15-1）^5，
Z=【a（a^15-1）】^3.
（a为大于1的整数），由此可得通解（省略）

lusishun

用程中占方法求得
X^2+Y^3=Z^5
的一组解，
X=2^53·3^42，
Y=2^35·3^28，
Z=2^21·3^17.
（由此可得一组通解，且通解有无数多组，未经程中占审核）

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-1-10 02:56
用程中占方法求得
X^2+Y^3=Z^5
的一组解，

求不定方程A^2+B^3=C^5的整数通解式。
解：仿程氏方法有：
2,3,5最小公倍数等于30，除以2,3,5分别等于15,10,6；
通解周期系数分别等于15,10,6；
C的非周期求取：
(2*3*m+1)/5
当m=4时是整数；
非周期分别是：12,8,5
方程的一组通解是：
A=2^(15t+12)
B=2^(10t+8)
C=2^(6t+5)
t≥0，整数。
A^2=2^(30t+24)
B^3=2^(30t+24)
C^5=2^(30t+25)
A^2+B^3=C^5
通解正确！

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-9 18:56
用程中占方法求得
X^2+Y^3=Z^5
的一组解，

又一解：
X=11^53·12^42，
Y=11^35·12^28，
Z=11^21·12^17

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-1-10 02:56
用程中占方法求得
X^2+Y^3=Z^5
的一组解，

X^2+Y^3=Z^5
的一组解，
X=2^8·3^12，
Y=2^5·3^8，
Z=2^3·3^5.

X^2=2*2^15*3^24
Y^3=2^15*3^24
Z^5=2^15*3^25
2*2^15*3^24+2^15*3^24=3*2^15*3^24=2^15*3^25

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-9 23:22
又一解：
X=11^53·12^42，
Y=11^35·12^28，

通解：
X=n^53·（n+1）^42，
Y=n^35·（n+1）^28，
Z=n^21·（n+1）^17.

（未经程中占先生审阅）

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-10 02:52
通解：
X=n^53·（n+1）^42，
Y=n^35·（n+1）^28，

又一解：
X=2^25·3^12，
Y=2^17·3^8，
Z=2^10·3^5。

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-10 20:58
又一解：
X=2^25·3^12，
Y=2^17·3^8，

又一通解：
X=n^25·（n+1）^12，
Y=n^17·（n+1）^8，
Z=n^10·（n+1）^5.

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-1-11 05:20
又一通解：
X=n^25·（n+1）^12，
Y=n^17·（n+1）^8，

又一解：
X=2^10·3^12，
Y=2^7·3^8，
Z=2^5·3^5。

X=n^10·（n+1）^12，
Y=n^7·（n+1）^8，
Z=n^4·（n+1）^5.