(72+32√5)^(2020／3) 的个位数是几？

xfhaoym

这道题挺有点难度。

小fisher

\(\sqrt[3]{72+32\sqrt{5}}=3+\sqrt{5}\)
令\(a=3+\sqrt{5}，b=3-\sqrt{5}\)
则\(a+b=6{,}ab=4\)
\(a^2+b^2=\left( a+b\right)^2-2ab=28\)
\(a^{n+1}+b^{n+1}=\left( a^n+b^n\right)\left( a+b\right)-ab\left( a^{n-1}+b^{n-1}\right)=6\left( a^n+b^n\right)-4\left( a^{n-1}+b^{n-1}\right)\)
若\(a^n+b^n\)的个位数表示为Rn，则
R1=6
R2=8
R3=(6*8-4*6) % 10=4
R4=(6*4-4*8) % 10=2
R5=(2*6-4*4) % 10=6
R6=(6*6-4*2) % 10=8
……
容易看出\(a^n+b^n\)的个位数是按照6，8，4，2，6，8，4，2……循环的
所以\(a^{2020}+b^{2020}\)的个位数为2，因为0<b<1，所以\(0<b^{2020}<1\)，所以\(a^{2020}\)的个位数字为1

luyuanhong

楼上 小fisher 的解答很好！已收藏。

xfhaoym

谢谢小fisher，这方法比较简单。