ΔACD 中，∠C 平分线与过 D 作 CD 垂线交于 I，与 AD 垂线交于 H，求证：∠IAD=∠CAH

denglongshan

如上图，ΔACD中，∠C的平分线CI和CD过D点垂线相交于I点，和AD过D点垂线交于H点。
求证:∠IAD=∠CAH

kanyikan

真是一道好题啊，
用三角法（分角线定理）可证，
谁有几何法证明？

kanyikan

∠IDC和∠HDA只要相等即可，没必要等于90°。

denglongshan

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) = d = 0;
   
5. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = a = 1; c = (-\[Lambda] v)/(
   
6. 1 - \[Lambda] v);
   
7. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = (-\[Lambda]/ v)/(
   
8. 1 - \[Lambda] /v);(*假设
   
9. \!\(\*OverscriptBox["DC", "\[RightVector]"]\)/
   
10. \!\(\*OverscriptBox["AC", "\[RightVector]"]\)=\[Lambda] v*)
    
11. KAB[a_, b_] := (a - b)/(
    
12. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
13. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
    
14. \!\(\*OverscriptBox["KAB", "_"]\)[a_, b_] := 1/KAB[a, b];(*复斜率定义*)
    
15. KAB[a_, b_, c_] := KAB[a, b]/KAB[b, c];(*e^(2iB) 等于复斜率相除*)
    
16. 
    
17. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1
    
18. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\) - (a2 - k2
    
19. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(
    
20.   k1 - k2));(*复斜率等于k1,过点A1与复斜率等于k2,过点A2的直线交点*)
    
21. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1
    
22. \!\(\*OverscriptBox["a1", "_"]\)) - k1 (a2 - k2
    
23. \!\(\*OverscriptBox["a2", "_"]\)))/(k1 - k2));
    
24. i = Jd[KAB[d, c] w, d, v KAB [a, c], c];
    
25. \!\(\*OverscriptBox["i", "_"]\) =
    
26. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[KAB[d, c] w, d, v KAB [a, c],
    
27.   c];(*假设w=e^(2i\[Angle]CDI)*)
    
28. h = Jd[KAB[d, a]/w, d, v KAB [a, c], c];
    
29. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\) =
    
30. \!\(\*OverscriptBox["Jd", "_"]\)[KAB[d, a]/w, d, v KAB [a, c], c];
    
31. Simplify[{1, i,
    
32. \!\(\*OverscriptBox["i", "_"]\), h,
    
33. \!\(\*OverscriptBox["h", "_"]\)}]
    
34. Simplify[{2, KAB[d, a], KAB[i, a], , KAB[h, a], KAB[a, c]}]
    
35. Simplify[{3, KAB[d, a, i], KAB[h, a, c]}]
    
36. Simplify[{4, (a - d)/(a - i), (a - h)/(
    
37.   a - c), , (a - d)/(a - i)/(a - h)/(a - c)}]
    
38. Factor[{5, (a - d)/(a - i), (a - h)/(
    
39.   a - c), , (a - d)/(a - i)/(a - h)/(a - c)}]
    
40. (*Expand[{(a-d)/(a-i),(a-h)/(a-c),,(a-d)/(a-i)/(a-h)/(a-c)}]*)

复制代码

上楼是对的，这是不垂直的情形，但是上传不了图片。用角平分线定理如何证明？

kanyikan

luyuanhong

楼上 kanyikn 的解答很好！已收藏。

王守恩

记 AD 与 IH 的交点为 E，记 ∠D 的平分线交 IH 于 O，则

$\frac{OC}{OE}=\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{DH}{DI}=\frac{OH}{OI}=\frac{AH}{AI}$

陆老师！这样说有问题吗？

luyuanhong

王守恩 发表于 2023-1-14 18:56
记 AD 与 IH 的交点为 E，记 ∠D 的平分线交 IH 于 O，则

$\frac{OC}{OE}=\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AE} ...$

陆老师！这样说有问题吗？

天山草

题目： 在三角形 ABC 中，在 A 角平分线上取两点 P、Q，使  ∠PBA = ∠QBC = θ。

求证：   ∠PCA = ∠BCQ

使用已知的构图方法： 令 △ABC的外接圆为单位圆O，BC边平行于实轴，再令 AB、AC 的复斜率

分别为 $u^2$ 和 $v^2$。$u$、$v$ 是两个自由变量。

在此构图下，可知三角形各顶点的复数坐标和内心坐标。再设 θ 角为自由变量，可求出 BP 和 BQ 的复斜率，

计算两对直线的交点可求得 P 点和 Q 点的复坐标。此时各点的复坐标都已求得。

接下来计算 ∠PCA 和 ∠BCQ 的正弦值，如果二者相等，就证明了这两个角是相等的。

mathematica 程序及运行结果如下：





程序运行结果：

王守恩

记AD与IC的交点为O,已知数4个(∠OCD=C,∠ODC=D,∠IDC=∠ADH=p),

未知数2个(∠IAO=x,∠HAC=k*x),

$\frac{OA}{OD}=\frac{\sin(C)\sin(D)}{\sin(C)\sin(2C+D)}=\frac{\sin(C+D-x)\sin(p-D)}{\sin(p+C)\sin(x)}=\frac{\sin(C-k*x)\sin(p)}{\sin(C+D-p)\sin(2C+D-k*x)}$

由第2个等号解得x,把x代入第3个等号可得k=1。

我总觉得没有7楼的好(简单才是我们追求的目标)。

就是1楼的图呀！