征解：

lusishun

求：X^5+Y^7=Z^5的一组正整数解

费尔马1

求：X^5+Y^7=Z^5的一组正整数解
x=b(a^5-b^5)^4
y=(a^5-b^5)^3
z=a(a^5-b^5)^4
其中，a、b为正整数，a＞b

费尔马1

莫要小瞧了这个题，这个题别看指数小，关键是5、5同次，这就有难度，不过学生经过努力探索，终于发现一种巧妙方法，移项，把指数5、5放在等号一边，指数7放在另一边，然后整体换元，令a^5-b^5=m，直接对这个等式进行配方，两边同乘以m^(5X),由此等号右边必须满足5X+1=7Y,这个不定方程的最小解是，X=4,Y=3
即两边同×m^(5*4)……下面解法就简单了，老师们自己写出吧。

费尔马1

5X+1=7Y,这个不定方程的最小解是，X=4,Y=3
通解是X=7k+4   Y=5k+3
二元一次不定方程都是这种解法，数字小的时候可以采用人工计算，较大时可以采用电子表格计算，再大时采用辗转相除法求解。当然，还是直接用辗转相除法，这是通法，函数不定方程也要采用此法。

lusishun

我想可以把凑指数的过程，公布，不影响你的解法吧。

费尔马1

lusishun 发表于 2023-1-13 12:22
我想可以把凑指数的过程，公布，不影响你的解法吧。

老师啊，您就把您的解法发布，让学生我学习学习吧。谢谢！

lusishun

产生过程：大家知道
（12·15）^2+（12·20）^2=（15·20）^2
两边可以同除以15^2，得12^2+16^2=20^2，两边同除以4^2，得3^2+4^2=5^2.
即可以同除以，反过来，可以同乘以

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-13 05:59
产生过程：大家知道
（12·15）^2+（12·20）^2=（15·20）^2
两边可以同除以15^2，得12^2+16^2=20^2，两 ...

在这个地方受启发

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-13 05:59
在这个地方受启发

以X^2+Y^6=Z^10为例，
解：因为指数中都含有2公约数，所以属于勾股数范围。
（也就是你说的大勾股数，但不是X，Y，Z。）
因为有，a^2+b^2=c^2，
则，a^2·b^4+b^6=c^2·b^4，
再则，两边同乘以（c·b^2）^48，
（48的取得较麻烦，用到辗转相除法，还要兼顾左边两项的指数）
得：【a·b^2·（c·b^2）^24】^2+【b·（c·b^2）^8】^6=【（c·b^2）^5】^10.
整理得：（a·b^50·c^24）^2+（b^17·c^8）^6=（b^10·c^5）^10.
取a=3，b=4，c=5，（a=m^2-n^2，b=2mn，c=m^2+n^2就是通解）
得：X=3·4^50·5^24，
          Y=4^17·5^8，
            Z=4^10·5^5.
（未来得及检查验算。）

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-13 06:35
以X^2+Y^6=Z^10为例，
解：因为指数中都含有2公约数，所以属于勾股数范围。
（也就是你说的大勾股数， ...

验算正确，没有错，这里取X的指数为2，还省了很多事， 因为Z的指数是10，所有解的数值是很大大的。