该方程，无正整数解吗？

lusishun

请教：
X^10+Y^12=Z^10，
有没有解啊？

费尔马1

X^10+Y^12=Z^10，
有没有解啊？
学生认为此不定方程无正整数解。老师们可以试试？
因为三个指数拿出因子2以后，剩余的三个数为5、6、5，不能两两互质，这种情况不符合大勾股数方程有解。

lusishun

大家总结出：方程
X^p+Y^q=Z^m
有正整数解的必要条件是：
三个指数满足以下条件之一，就有正整数解，
（一）pqm三个指数，没有公约数。
（二）pqm三个指数只有公约2，除此以为，两两之间不再有任何公约数。
（三）pqm三个指数，两两之间，最多只有一个公约数。


（修改了一下，还要发现问题）
（多次修改）
网友审阅

yangchuanju

lusishun 发表于 2023-1-13 12:16
我现在初步总结出：方程
X^p+Y^q=Z^m
有正整数解的必要条件是：

m^2=pq与p≠q等同；
m与pq最多只有一个大于1的公约数意味着pq/m只能等于单个素数，或者m/pq等于单个素数（2,3,5,7……）；
亦即p或q=2m,3m,5m,7m……或m=2p,3p,5p,7p……或m=2q,3q,5q,7q……。
对不对？

费尔马1

X^p+Y^q=Z^m
三个指数中，如果其中一个指数同时包涵其它两个指数的因子，则原方程无正整数解。
例，X^21+Y^48=Z^10
指数是3*7     2*3*8      2*5
48含3、2因子，这种情况下，原方程就无正整数解。

lusishun

lusishun 发表于 2023-1-13 04:16
大家总结出：方程
X^p+Y^q=Z^m
有正整数解的必要条件是：

没有正整数解的情况：
1、p，q，m三个指数有大于2度公约数，
2，三个指数p，q，m有公约数2，除此以外，其中两个指数还有大于1的公约数。
3，虽然三个指数没有公约数，但其中两个指数p，q有公约数，另外一个指数m与p（或q）还有公约数。