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著名数学家徐利治在他的著作<论数学方法学>490-501页介绍了布劳维尔(Brouwer)提出的反例,这个反例首先将 的小数展开式中100个连续的0的事物称之为一个“百零排”,提出 的无尽不循环小数展开式三个命题:(1)不包含“百零排”;(2)出现奇数个“百零排”;(3)出现偶数个“百零排”,然后使用两次排中律,第一次得到:有与没有百零排只有一种出现;第二次使用排中律得到奇数个与偶数个百零排只有一种出现;两次使用排中律,得到上述三个命题有且只有一种出现。根据这个结论,布劳维尔提出在不包含百零排时,令 ,此时 ,在 的无尽小数展开式有奇数个百零排时,若第一个百零排的第一个数字出现在小数点后的第 位时,令 的小数展开式终止于 位,记作 ,故 ;对于 的无尽小数展开式有偶数个百零排时,若第一个百零排的第一个数字出现在小数点后的第 位时,令 的小数展式的第 位为1,以后都为0,记作 ,从而 ,最后令实数Q 。那么,这个实数Q究竟是Q=0,Q<0,Q>0的三种情况中哪一种呢?。徐利治 研究后讲道:“看来还是一个不易解决的难题”、“希望对布劳维尔(Brouwer)反例感兴趣的读者继续研究下去”[1]。众所周知:实数的三分律是:若α、β属于实数集,则α<β,α=β,α>β中有且只有一个成立。 现在令α为布劳维尔提出的实数Q、β为0,那么这个不易解决的反例,就是一个无法判断Q=0,Q<0,Q>0哪一个成立的实数理论的三分律反例。所以,必须深入研究,并消除它。关于这个反例的消除方法,笔者已经在数学中国论坛与网友讨论12年,这个争论说明:数学家忽略了许多事实,现将其主要事实,写成这个论文,请读者研究。 |
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