四元毕达哥拉斯数组配方解费尔马函数不定方程

yangchuanju

四元毕达哥拉斯数组配方解费尔马函数不定方程
采用一种新的配方法解费尔马函数不定方程：
（1）A^(2n)+B^(2n+1)+C^(2n+2)=D^(2n+3)
令解由4个底数组成，分别是2mp，2np，p^2-m^2-n^2，p^2+m^2+n^2
4个底数的循环周期都相同，分别是
A：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n)*k
B：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+1)*k
C：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+2)*k
D：lcm(2n,2n+1,2n+2,2n+3)/(2n+3)*k
式中lcm是最小公倍数，k——0或正整数

4个底数的非循环周期不相同，其中第1-4底数的乘数分别是
A的第1因子乘数m1：[(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1+2]/(2n)是整数
B的第2因子乘数m2：[(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2+2]/(2n+1)是整数
C的第3因子乘数m3：[(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3+2]/(2n+2)是整数
D的第4因子乘数m4：[(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4+2]/(2n+3)是整数
第1-4底数的指数分别是
A的第1因子指数：[(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1+2]/(2n)
A的第2因子指数：(2n+2)*(2n+3)*m2
A的第3因子指数：(2n+1)*(2n+3)*m3
A的第4因子指数：(2n+1)*(2n+2)*m4
B的第1因子指数：(2n+2)*(2n+3)*m1
B的第2因子指数：[(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2+2]/(2n+1)
B的第3因子指数：(2n)*(2n+3)*m3
B的第4因子指数：(2n)*(2n+2)*m4
C的第1因子指数：(2n+1)*(2n+3)*m1
C的第2因子指数：(2n)*(2n+3)*m2
C的第3因子指数：[(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3+2]/(2n+2)
C的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*m4
D的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*m1
D的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*m2
D的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*m3
D的第4因子指数：[(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4+2]/(2n+3)

A^(2n)的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1+2
A^(2n)的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2
A^(2n)的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3
A^(2n)的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2))*m4
B^(2n+1)的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1
B^(2n+1)的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2+2
B^(2n+1)的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3
B^(2n+1)的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4
C^(2n+2)的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1
C^(2n+2)的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2
C^(2n+2)的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+3)*m3+2
C^(2n+2)的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4
D^(2n+3)的第1因子指数：(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)*m1
D^(2n+3)的第2因子指数：(2n)*(2n+2)*(2n+3)*m2
D^(2n+3)的第3因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m3
D^(2n+3)的第4因子指数：(2n)*(2n+1)*(2n+2)*m4+2

去掉各项相同的因子，四项分别剩余(2pm)^2,  (2pn)^2,  (p^2-m^2-n^2)^2,  (p^2+m^2+n^2)^2

(2pm)^2+(2pn)^2+(p^2-m^2-n^2)^2
=4p^2*m^2+4p^2*n^2+p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2-2p^2*m^2-2p^2*n^2
=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2

(p^2+m^2+n^2)^2=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2

(2pm)^2+(2pn)^2+(p^2-m^2-n^2)^2=(p^2+m^2+n^2)^2
剩余四项是四元毕达哥拉斯数。

3,4,12,13是一组四元毕达哥拉斯数，分别令
p^2-m^2-n^2,2pm,2pn,p^2+m^2+n^2等于3,4,12,13即得费尔马方程1的一组通解，
在这里不用管p，m，n究竟等于多少。

令n=1，且不考虑循环周期（即k=0），四项的指数分别是2,3,4,5；
4个乘数分别是m1=1，m2=1，m3=1，m4=2；
A的第1-4因子指数分别是31，20，15，24；
A^2的第1-4因子指数分别是62，40，30，48；
B的第1-4因子指数分别是20，14，10，16；
B^3的第1-4因子指数分别是60，42，30，48；
C的第1-4因子指数分别是15，10，8，12；
C^4的第1-4因子指数分别是60，40，32，48；
D的第1-4因子指数分别是12，8，6，10；
D^5的第1-4因子指数分别是60，40，30，50。

ABCD四项的第1,2,3,4因子分别高2次，
3^2+4^2+12^2=13^2，正确！

yangchuanju

三元毕达哥拉斯数组通式
a^2+b^2=c^2
a=2pm
b=p^2-m^2
c=p^2+m^2
a^2=4m^2*p^2
b^2=p^4+m^4-2p^2*m^2
c^2=p^4+m^4+2p^2*m^2
a^2+b^2=p^4+m^4+2p^2*m^2=d^2
（费尔马1用字母uv表示，结构相同。）
该数组可用于解二项和（X^α+Y^β=Z^γ）型的丢番图不定方程。

四元毕达哥拉斯数组通式
a^2+b^2+c^2=d^2
a=2mp
b=2np
c=p^2-(m^2+n^2)
d=p^2+(m^2+n^2)
a^2=4m^2*p^2
b^2=4n^2*p^2
c^2=p^4+(m^4+2m^2*n^2+n^4)-2p^2*(m^2+n^2)=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2-2p^2*m^2-2p^2*n^2
d^2=p^4+(m^4+2m^2*n^2+n^4)+2p^2*(m^2+n^2)=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2
a^2+b^2+c^2=p^4+m^4+n^4+2m^2*n^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2=d^2
该数组可用于解三项和（X^α+Y^β+Z^γ=U^δ）型的丢番图不定方程。

yangchuanju

扩展——五元毕达哥拉斯数组通式
a^2+b^2+c^2+d^2=e^2
a=2mp
b=2np
c=2qp
d=p^2-(m^2+n^2+q^2)
e=p^2+(m^2+n^2+q^2)

a^2=4m^2*p^2
b^2=4n^2*p^2
c^2=4q^2*p^2
d^2=p^4+(m^4+n^2+q^2+2m^2*n^2+2m^2*q^2+2n^2*q^2)-2p^2*(m^2+n^2+q^2)
=p^4+m^4+n^4+q^4+2m^2*n^2+2m^2*q^2+2n^2*q^2-2p^2*m^2-2p^2*n^2-2p^2*q^2

e^2=p^4+(m^4+n^2+q^2+2m^2*n^2+2m^2*q^2+2n^2*q^2)+2p^2*(m^2+n^2+q^2)
=p^4+m^4+n^4+q^4+2m^2*n^2+2m^2*q^2+2n^2*q^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2+2p^2*q^2

a^2+b^2+c^2+d^2=4m^2*p^2+4n^2*p^2+4q^2*p^2+p^4+m^4+n^4+q^4+2m^2*n^2+2m^2*q^2+2n^2*q^2-2p^2*m^2-2p^2*n^2-2p^2*q^2
=p^4+m^4+n^4+q^4+2m^2*n^2+2m^2*q^2+2n^2*q^2+2p^2*m^2+2p^2*n^2+2p^2*q^2=e^2
该数组可用于解四项和（X^α+Y^β+Z^γ+U^δ=V^ε）型的丢番图不定方程。

yangchuanju

扩展——六元毕达哥拉斯数组通式
a^2+b^2+c^2+d^2=e^2
a=2mp
b=2np
c=2qp
d=2rp
e=p^2-(m^2+n^2+q^2+r^2)
f=p^2+(m^2+n^2+q^2+r^2)

a^2=4m^2*p^2
b^2=4n^2*p^2
c^2=4q^2*p^2
d^2=4r^2*p^2

e^2=p^4+(m^4+n^2+q^2+r^2+2m^2*n^2+2m^2*q^2+2m^2*r^2+2n^2*q^2+2n^2*r^2+2q^2*r^2)-2p^2*(m^2+n^2+q^2+r^2)
=p^4+m^4+n^4+q^4+r^4+2m^2*n^2+2m^2*q^2+2m^2*r^2+2n^2*q^2+2n^2*r^2+2q^2*r^2-2p^2*m^2-2p^2*n^2-2p^2*q^2-2p^2*r^2

f^2=p^4+(m^4+n^2+q^2+r^2+2m^2*n^2+2m^2*q^2+2m^2*r^2+2n^2*q^2+2n^2*r^2+2q^2*r^2)+2p^2*(m^2+n^2+q^2+r^2)
=(p^4+m^4+n^4+q^4+r^4)+2*(m^2*n^2+m^2*q^2+m^2*r^2+n^2*q^2+n^2*r^2+q^2*r^2+p^2*m^2+p^2*n^2+p^2*q^2+p^2*r^2)

a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=f^2
该数组可用于解五项和（X^α+Y^β+Z^γ+U^δ+V^ε=W^ζ）型的丢番图不定方程。

yangchuanju

或扩展——六元毕达哥拉斯数组通式
a^2+b^2+c^2+d^2=e^2
a=2mp
b=2np
c=2mq
d=2nq
e=(p^2+q^2)-(m^2+n^2)
f=(p^2+q^2)+(m^2+n^2)

a^2=4m^2*p^2
b^2=4n^2*p^2
c^2=4m^2*q^2
d^2=4n^2*q^2

e^2=(p^4+2p^2*q^2+q^4)+(m^4+2m^2*n^2+n^4)-2(p^2+q^2)*(m^2+n^2)
=p^4+q^4+m^4+n^4+2p^2*q^2+2m^2*n^2-2p^2*m^2-2p^2*n^2-2q^2*m^2-2q^2*n^2

f^2=(p^4+2p^2*q^2+q^4)+(m^4+2m^2*n^2+n^4)+2(p^2+q^2)*(m^2+n^2)
=p^4+q^4+m^4+n^4+2p^2*q^2+2m^2*n^2+2p^2m^2+2p^2*n^2+2q^2*m^2+2q^2*n^2
=（p^4+q^4+m^4+n^4）+2*(p^2*q^2+m^2*n^2+p^2*m^2+p^2*n^2+q^2*m^2+q^2*n^2)

a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=f^2
该数组可用于解五项和（X^α+Y^β+Z^γ+U^δ+V^ε=W^ζ）型的丢番图不定方程。
该通项式比上一通项式少了一个参数，e、f的项数由15项代数和减少到10项。

朱明君

多元毕达哥拉斯数组通式
\(设(a^2+b^2+\cdots+n^2)=x{,}其中(a+b+\cdots+n)为大于等于3的奇数，且abnx均为正整数，\)
\(则a^2+b^2+\cdots+n^2+\left\{ \frac{(x-1)}{2}\right\}^2=\left\{ \frac{(x+1)}{2}\right\}^2\)

费尔马1

朱明君 发表于 2023-1-26 21:26
多元毕达哥拉斯数组通式
\(设(a^2+b^2+\cdots+n^2)=x{,}其中(a+b+\cdots+n)为大于等于3的奇数，且abnx均为 ...

朱老师的公式正确！

费尔马1

朱明君 发表于 2023-1-26 21:26
多元毕达哥拉斯数组通式
\(设(a^2+b^2+\cdots+n^2)=x{,}其中(a+b+\cdots+n)为大于等于3的奇数，且abnx均为 ...

设a^n+b^n+……+c^n=S，S≠4m+2，即S不等于单偶数，
则w^2-t^2=S
证明：令w=t+k
w^2-t^2=（t+k）^2-t^2=S
t=(S-k^2)/(2k)
当k是S的约数时，t有正整数解。
则有，w^2=t^2+S=t^2+a^n+b^n+……+c^n
即w^2-t^2=a^n+b^n+……+c^n
平方数公式：w^2=t^2+a^2+b^2+……+c^2
这个平方数公式包括了所有关于平方数若干项和的公式。

朱明君

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