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已知多项式 x^13+x+90 能够被 x^2-x+a 整除,其中 a 是整数,求 a

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发表于 2023-1-26 19:40 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問多項式

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发表于 2023-1-27 00:02 | 显示全部楼层
x=-1->88/(a+2)--->a<>-2
x=3->1594416/(a+6)--->a<>-1

事实上,

x13+x+90x2x+2=x11+x10x93x8x7+5x6+7x53x417x311x2+23x+45

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謝謝  发表于 2023-1-27 14:04
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发表于 2023-1-27 09:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-1-27 09:27 编辑
Treenewbee 发表于 2023-1-27 00:02
x=-1->88/(a+2)--->a-2
x=3->1594416/(a+6)--->a-1


令 x = 0 => a | 90,令 x = 1 => a | 92
∴ a | 2

若 a = 1,令 x=-1 则有 (x2x+a)|(x13+x+90)3|88,矛盾。

若 a = -1,令 x=-2,则有 (x2x+a)|(x13+x+90)5|(2132+90),而 (2132+90)=(2)(4)62+90)=(22+90)=4(mod5)
矛盾!

若 a=-2,x^2-x+a = x^2-x-2 = (x-2)(x+1),∴ x = 2 是方程  x^13+x+90 的(一个)根,但 2^13+2+90 显然不等于 0,矛盾。

经楼上验证, a=2 满足

x13+x+90x2x+2=x11+x10x93x8x7+5x6+7x53x417x311x2+23x+45

∴ a=2 是所求的解。

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110 竹模 謝謝  发表于 2023-1-27 14:04
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发表于 2023-1-27 11:00 | 显示全部楼层
楼上 uk702 的解答已收藏。
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发表于 2023-1-27 11:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 时空伴随者 于 2023-1-27 11:40 编辑

由题意知,任给x,x2x+a0,即判别式1-4a<0,a>1/4。验证a=2即可!
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发表于 2023-1-28 20:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-1-28 20:46 编辑



上面是手工计算的思路,实际上可用 mathematica 编程计算:



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謝謝老師  发表于 2023-1-30 01:12
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发表于 2023-2-12 14:46 | 显示全部楼层

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