【答】两道趣题，好像稍稍显得奇特

dodonaomikiki

请看题目

Treenewbee

\[(1^2-3^2+5^2-7^2+...+2009^2)-(2^2-4^2+6^2-8^2+...+2010^2)\]
\[=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+...+2009^2)-((2-4)(2+4)+(6-8)(6+8)+...+2010^2)\]
\[=2009^2-2010^2-2(4+12+20+...+4012)+2(6+14+22+..4014.)\]
\[=-4019+2*1004=-2011\]

\[2010=0(mod 6),1/7=0.(142857)(142857)(142857)...((142857),2010位为7\]

Treenewbee

\[\sum_{i=0}^{502}{(4k+1)^2}-\sum_{i=0}^{502}{(4k+2)^2}-\sum_{i=0}^{501}{(4k+3)^2}+\sum_{i=0}^{501}{(4k+4)^2}\]
\[=\sum_{i=0}^{501}{4}-(8*502+3)=-2011\]

王守恩

从问题出发——关于解题的理解和讲授

\(+01-01^2+00^2+01^2-02^2=-03\)
\(-03-03^2+04^2+05^2-06^2=-07\)
\(-07-07^2+08^2+09^2-10^2=-11\)
\(-11-11^2+12^2+13^2-14^2=-15\)
\(-15-15^2+16^2+17^2-18^2=-19\)
\(-19-19^2+20^2+21^2-22^2=-23\)
\(-23-23^2+24^2+25^2-26^2=-27\)
\(-27-27^2+28^2+29^2-30^2=-31\)

\(00+01^2-02^2-03^2+04^2=04\)
\(04+05^2-06^2-07^2+08^2=08\)
\(08+09^2-10^2-11^2+12^2=12\)
\(12+13^2-14^2-15^2+16^2=16\)
\(16+17^2-18^2-19^2+20^2=20\)
\(20+21^2-22^2-23^2+24^2=24\)
\(24+25^2-26^2-27^2+28^2=28\)
\(28+29^2-30^2-31^2+32^2=32\)

小fisher

\(n^2-\left( n+1\right)^2-\left( n+2\right)^2+\left( n+3\right)^2=4\)
原式=\(\left( 1^2-2^2-3^3+4^2\right)+\left( 5^2-6^2-7^3+8^2\right)+\dots+\left( 2005^2-2006^2-2007^3+2008^2\right)+2009^2-2010^2\)
\(=4+4+4+\dots+4+2009^2-2010^2\)
\(=\frac{2008}{4}\times4+\left( 2009-2010\right)\left( 2009+2010\right)\)
\(=2008-\left( 2009+2010\right)\)
\(=-2011\)

dodonaomikiki

谢谢上面诸位老师！

辛苦啦，辛苦啦，在这个后疫情年代

dodonaomikiki

七分之一这道题目，
确实比较好玩，
只不过，现在很少关注数论方面的题目

dodonaomikiki

\(n^2-\left( n+1\right)^2-\left( n+2\right)^2+\left( n+3\right)^2\)
针对这个，

\(n^2   \)完美消除！
\(n   \) 也同样 完美消除！
结果，只剩下那\(-1-4+9=4\)


接下来\(2008除以4=502\)
结果就昭然若揭，\(   502  \bullet   4+2009^2 -2010^2 \)
\(=2008+(2019-2010)(2019+2010)\)
\(=2008-4029\)
\(=-2021\)