P点之轨迹， 抛物线在x轴上滚动

dodonaomikiki

如图所示，
假使抛物线方程：\(y=x^2\)
\(PP'\)是一条悬链线，还是旋轮线？
她有轨迹方程吗·？

dodonaomikiki

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Nicolas2050

抛物线在水平直线上滚动

设抛物线x²＝2py，焦点（0，p/2），准线y＝-p/2
取其上一点U（a，a²/2p）不妨设a＞0.

抛物线性质:U点距焦点P距离（l)等于U点到准线距离:
l＝a²/2p＋p/2
抛物线在U点切线:y＝ax/p-a²/2p
焦点P到切线做垂线，垂足H，距离PH＝（p/2＋a²/2p)/√（a²/p²＋1）＝√（a²＋p²)/2
切点U到H距离:
UH＝（a^3/2p²＋a/2)/√（a²/p²＋1）＝a√（a²＋p²)/2p

U点沿抛物线到原点距离:采用弧微分
ds＝（1＋y'²)^½dx
    ＝（1＋x²/p²)^½dx
s＝∫0→ads
    ＝（x/2)·√(1+x²/p²)＋（p/2)·ln|x/p+√(1+x²/p²)|（从0积分到a）
s＝（a/2)·√(1+a²/p²)＋（p/2)·ln|a/p+√(1+a²/p²)|

纯滚动后焦点P横坐标x＝s-UH
x＝p/2ln|a/p+√(1+a²/p²)|
焦点P纵坐标y＝PH
y＝√（a²＋p²)/2
解参数方程:
x＝（p/2)·ln｛2y/p＋√【（2y/p)²-1】｝
2y/p＝【e^（2x/p）＋e^-（2x/p）】/2
即2y/p＝cosh（2x/p）
    y＝（p/2)·cosh（2x/p）
a＜0时，同理
焦点轨迹为悬链线（双曲余弦）
结论：抛物线沿着水平直线滚动，其焦点轨迹为一条悬链线

提高：

1，抛物线在圆上或椭圆上等光滑曲线上滚动如何？
2，圆在抛物线上或椭圆上等光滑曲线上滚动如何？
3，椭圆在抛物线上或椭圆或圆上等光滑曲线上滚动如何？
4，半圆或半椭圆模拟在直线上滚动。

Nicolas2050

ref:
1,https://math.stackexchange.com/questions/2562290/the-parabola-x2-12y-rolls-without-slipping-around-the-parabola-x2-12y
2，https://math.stackexchange.com/questions/4254324/two-equal-parabolas-with-foci-at-s-and-s-touch-each-other-at-point-p-such-that?noredirect=1&lq=1
3，https://www.bilibili.com/video/BV1k3411C73Y

shuxuestar

抛物线弧长不是一个可以简单解的积分，推导过程存疑.....

dodonaomikiki

shuxuestar 发表于 2023-3-6 14:51
抛物线弧长不是一个可以简单解的积分，推导过程存疑.....

可能需要一定高级技巧~~~可能存在高等数学手段