【答】已知 x^2+y^2=x^2+z^2+√3xz=x^2+y^2+yz=16 ，求 2xy+xz+√3yz

dodonaomikiki

2021USTC创新班，   有点类似于三元一次方程组

请看题目

Treenewbee

可以构造一个边长4的等边三角形ABC,内有一点O，O与ABC的连线长度分别是x,y,z,中心的三个角分别是90,120,150度.
\[2xy+xz+\sqrt{3}yz\]正好是三角形ABC面积的4倍，即\[16\sqrt3\]

Treenewbee

dodonaomikiki

\(      0,5xy+0,5yzsin120^O+0,5xzsin150^O=4  \bullet    2\sqrt{3}  /2=4  \sqrt{3}         \)   

两边乘以2


快速得到
\(     xy+yzsin120^O+xzsin150^O=8  \sqrt{3}         \)




继续乘以2，那就得到结果啦：
\(     2xy+yz \sqrt{3}   +xz=16  \sqrt{3}         \)
整备一哈
\(     2xy+\sqrt{3} yz   +xz=16 \sqrt{3}         \)

luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知 x^2+y^2=x^2+z^2+√3xz=z^2+y^2+yz=16 ，求 2xy+xz+√3yz 。

思路（三角法）：设x=4cosθ，y=4sinθ，代入x^2+z^2+√3xz=z^2+y^2+yz=16 中，

易得z=4cos2θ/(sinθ-√3cosθ)，此代入z^2+y^2+yz=16 中，可算得tanθ=2/√3。

故，2xy+xz+√3yz =16sin2θ+16cos2θ(cosθ+√3sinθ)/(sinθ-√3cosθ)

=16(1-√3tanθ)/(tanθ-√3)=16√3。

注：当x，y，z∈R＋时，才有可能使用构造法。本题没有这个条件。

luyuanhong

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波斯猫猫

x＝±4√3／√7，y＝±8／√7，z＝±4／√7。x，y，z取同号。