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哥猜表法数r2(N)下限值函数是增函数之简证

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发表于 2023-2-9 08:28 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 cuikun-186 于 2023-2-9 08:40 编辑

哥猜表法数r2(N)下限值函数是增函数之简证

                                                         崔坤

                              中国青岛即墨,E-mail:cwkzq@126.com

摘要:通过建立共轭互逆的等差数列A和B,

根据埃氏筛法运用Pr集合里的每个独立元素分别按序对A和B数列双筛,

得到真值公式r2(N)=(N/2)∏mr,偶数N≥6;

然后对其下限值估计,根据素数定理最终得到:r2(N)=(N/2)∏mr≥N/(lnN)^2

关键词:共轭互逆等差数列,埃氏筛法,素数定理,表法数r2(N),素数,真实剩余比

中图分类号:O156             文献标识码:A

证明:对于共轭互逆数列A、B:

A:{1,3,5,7,9,……,(N-1)}

B:{(N-1),……,9,7,5,3,1}

显然N=A+B,偶数N≥6,

根据埃氏筛法获得奇素数集合{Pr}:{1,3,5,…,Pr},Pr<(N)^1/2

为了获得偶数N的(1+1)表法数r2(N),按照双筛法进行分步操作:

第1步:将互逆数列AB用3双筛后得到真实剩余比m1

第2步:将余下的互逆数列再用5双筛后得到真实剩余比m2

第3步:将余下的互逆数列再用7双筛后得到真实剩余比m3


依次类推到:第r步:将余下的互逆数列再用Pr双筛后得到真实剩余比mr,

这样就完成了对偶数N的求双筛法(1+1)表法数r2(N),

由于运用Pr集合中的每个元素进行的筛选是独立事件,

则根据乘法原理有:r2(N)=(N/2)*m1*m2*m3*…*mr;

即r2(N)=(N/2)∏mr

例如:70,[√70]=8,{Pr}={1,3,5,7},

3|/70,首先这35个奇数用3双筛后得到剩余13个奇数,则其真实剩余比:m1=13/35

5|70,剩余的13个奇数再用5双筛剩余10个奇数,则其真实剩余比:m2=10/13

7|70,剩余的10个奇数再用7双筛剩余10个奇数,则其真实剩余比:m3=10/10

根据真值公式得:r2(70)=(70/2)*m1*m2*m3=35*13/35*10/13*10/10=10,r2(70)=10

显见,公式r2(N)=(N/2)∏mr是从微观上给出了偶数N的(1+1)表法数r2(N)的,

那么从宏观上我们也可以分析r2(N)=(N/2)∏mr的下限值,双筛法本质上:

第一步:先对A数列筛选,A中拥有奇素数的比例为π(N)/N,

根据素数定理,A中至少有N/lnN≥1个奇素数,即获得素数的比例至少是1/lnN;

第二步:再对B数列进行筛选,B中拥有奇素数的比例为π(N)/N,

根据素数定理,B中也至少有N/lnN≥1个奇素数,即获得素数的比例至少是1/lnN;

那么根据乘法原理要获得共轭数列AB中的素数对的比例至少是:(π(N)/N)*(π(N)/N),

或者是(1/lnN)*(1/lnN),

则由此推得共轭数列AB中至少有:

r2(N)=(N/2)∏mr≥[N*π(N)/N*π(N)/N]=[(π(N))^2/N]

或者r2(N)=(N/2)∏mr≥N*(1/lnN)*(1/lnN)=N/(lnN)^2

即:r2(N)=(N/2)∏mr≥N/(lnN)^2,

或者r2(N)=(N/2)∏mr≥[(π(N))^2/N]

N≥8时,显见f(N)=N/(lnN)^2是r2(N)的下限值函数且为增函数

证明:对于函数f(x)=x/(lnx)^2,则:

f'(x)=[x/(lnx)^2]'

=[(lnx)^2-x*2(lnx)*(1/x)]/(lnx)^4

=[(lnx)^2-2lnx]/(lnx)^4

=(lnx-2)/(lnx)^3

即f'(x)=(lnx-2)/(lnx)^3

当x≥8时

lnx-2≥ln8-2≥2.079-2>0

从而:f'(x)>0,对于函数f(x)是严格单调增大,

即:哥猜表法数r2(N)下限值函数是增函数

结论:哥猜表法数r2(N)下限值函数是增函数

参考文献:王元,《谈谈素数》,哈尔滨工业大学出版社,2011-3
 楼主| 发表于 2023-2-9 08:53 | 显示全部楼层
r2(N)≥[(π(N))^2/N]之验证

r2(6)=3,π(6)=3,r2(6)=3≥[(π(6))^2/6]=[9/6]=1,r2(6)=3≥1【正确】

r2(8)=4,π(8)=4,r2(8)=4≥[(π(8))^2/8]=[16/8]=2,r2(8)=4≥2【正确】

r2(10)=3,π(10)=4,r2(10)=3≥[(π(10))^2/10]=[16/10]=1,r2(10)=3≥1【正确】

r2(12)=3,π(12)=5,r2(12)=4≥[(π(12))^2/12]=[25/12]=2,r2(12)=4≥2【正确】

r2(14)=5,π(14)=6,r2(14)=5≥[(π(14))^2/14]=[36/14]=2,r2(14)=5≥2【正确】

r2(16)=4,π(16)=6,r2(16)=4≥[(π(16))^2/16]=[36/16]=2,r2(16)=4≥2【正确】

r2(18)=6,π(18)=7,r2(18)=6≥[(π(18))^2/18]=[49/18]=3,r2(18)=6≥3【正确】

r2(20)=6,π(20)=8,r2(20)=6≥[(π(20))^2/20]=[64/20]=3,r2(18)=6≥3【正确】

r2(22)=5,π(22)=8,r2(22)=6≥[(π(22))^2/22]=[64/22]=2,r2(22)=5≥2【正确】






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 楼主| 发表于 2023-2-9 09:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 cuikun-186 于 2023-2-9 09:10 编辑

r2(38)=5,π(38)=12,r2(38)=5≥[(π(38))^2/38]=[144/38]=3,r2(38)=5≥3【正确】

r2(98)=8,π(98)=25,r2(98)=8≥[(π(98))^2/98]=[625/98]=6,r2(98)=8≥6【正确】

r2(100)=12,π(100)=25,r2(100)=12≥[(π(100))^2/100]=[625/100]=6,r2(100)=12≥6【正确】



r2(1000)=56,π(1000)=168,r2(1000)=56≥[(π(1000))^2/1000]=[28224/1000]=28,

r2(1000)=56≥28【正确】

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