连续偶数素数对上下包络线

yangchuanju · 发表于 2023-2-9 19:35

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-11 13:28 编辑

笔者曾向那宝吉老师请教，“能给出连续偶数哥猜数下包络线的表达式吗？”
那老师（vfbpgyfk）随机在点评中给出：从哥猜角度讲，素数对下限却被能解决，但不必那么繁琐，我论证出的素数对下限公式N/2ln(N)^2就能彻底解决素数下限问题。
看来偶数素数对的下包络线函数式不是这么简单的。

2^n和2p、4p、8p、……型偶数的双计素数对（哥猜数）等于N/2*∏(p-2)/p；
这里的2p、4p、8p、……不是说系数可以是2的任意次方，而是系数不能大于p自身；
例p=3时只有一个2*3=6，p=5时可以有2*5=10,4*5=20两个偶数，p=7时也是两个偶数2*7=14,4*7=28；
p=11,13时系数可取2,4,8三个；p=17,19,23,29,31时系数可以取2,4,8,16四个；……
第一行中2p、4p、8p中的p指素数（质数），后面∏(p-2)/p中的p指偶数N平方根以内的奇素数。
这两种偶数的素数对都不出现波动因子∏(p-1)/(p-2)，相当于相邻偶数的素数对是最少的。
如果按2^n对偶数进行分段2-4-8-16-32-……，则联结各个偶数的素数对可形成一条曲线；
如果按2p、4p、8p、……对偶数进行分段6-10-14-20-22-26-28-34-38-……，则联结各个偶数的素数对也可形成一条曲线；
上述两条曲线是相互交叉的，都不是偶数素数对的下包络线。

尚若按2^n分区，则2^n的素数对不是偶数素数对的下包络线：
4-6区间哥猜数最小值1出现在4处，5也是1；
8-14区间哥猜数最小值1出现在8处，12也是1；
16-30区间哥猜数最小值2出现在16处，18,20,28也是2；
32-62区间哥猜数最小值2出现在32处，38也是2；
64-126区间哥猜数最小值2出现在68=4*17处，而64为6，另有98为3；
128-254区间哥猜数最小值3出现在128处，
256-510区间哥猜数最小值6出现在332处，而256哥猜数为8；……

尚若按素数的2倍分区，2p的素数对在各个分区往往不是最小的，且素数对不是连续增大的，2p的素数对不是偶数素数对的下包络线。
A000040 A116619
素数 2p哥猜数素数 2p哥猜数素数 2p哥猜数
1 2 1 1 11 31 11 3 21 73 21 6
2 3 2 1 12 37 12 5 22 79 22 5
3 5 3 2 13 41 13 5 23 83 23 6
4 7 4 2 14 43 14 5 24 89 24 7
5 11 5 3 15 47 15 5 25 97 25 7
6 13 6 3 16 53 16 6 26 101 26 9
7 17 7 4 17 59 17 6 27 103 27 7
8 19 8 2 18 61 18 4 28 107 28 8
9 23 9 4 19 67 19 6 29 109 29 7
10 29 10 4 20 71 20 8 30 113 30 7

如果将上述两类偶数从小到大依次排列成2-4-6-8-10-14-16-20-22-26-28-32-34-38-……，包括部分4p、8p等偶数的素数对；
联结各个偶数的素数对（可能需要舍弃最前面的几个小偶数）的曲线也不是下包络线。
在上面的各个偶数段内还有素数对更小的偶数。

尚若按素数的平方分区，各区最小偶数是p^2+1，但该区最小哥猜数不是p^2+1，p^2+1的素数对也不是下包络线：
10-24区间哥猜数最小值1出现在12=4*3处，而10为2，16为2；
26-48区间哥猜数最小值2出现在28=4*7处，而26为3，32为2；
50-120区间哥猜数最小值2出现在68=4*17处，而50为4，64为5，还有98为3；
122-168区间哥猜数最小值3出现在128=2^7处，而122为4；
170-288区间哥猜数最小值5出现在188=4*47处，而170为9，256为8；……

yangchuanju · 发表于 2023-2-9 19:40

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-4-1 08:01 编辑

经反复探讨，笔者认为偶数素数对（哥猜数）的下包络线应是A000954给出的恰n种素数对的最大偶数：
0 2 10 632 20 1448 30 2456 40 3632 50 4688
1 12 11 692 21 1718 31 2936 41 3548 51 5078
2 68 12 626 22 1532 32 2504 42 3754 52 5468
3 128 13 992 23 1604 33 2588 43 4022 53 5288
4 152 14 878 24 1682 34 2978 44 4058 54 5528
5 188 15 908 25 2048 35 3092 45 4412 55 5948
6 332 16 1112 26 2252 36 3032 46 4448 56 5618
7 398 17 998 27 2078 37 3218 47 4174 57 5378
8 368 18 1412 28 2672 38 3272 48 4478 58 5732
9 488 19 1202 29 2642 39 3296 49 4472 59 6068

素数对等于0的偶数只有1个2；素数对等于1的有4个：4,6,8,12；
素数对等于2的有9个：10,14,16,18,20,28,32,38,68；
素数对等于3的有11个：22,24,26,30,40,44,52,56,62,98,128；……
联结偶数2；4,6,8,12；14,16,18,20,28,32,38,68；98,128；……
的素数对数点0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3，……；
即得一条逐渐升高的阶梯型曲线，该阶梯型曲线才是连续偶数素数对的下包络线。

偶数素数对偶数素数对偶数素数对偶数素数对偶数素数对
2 0 42 4 72 6 232 7 170 9
4 1 46 4 100 6 272 7 196 9
6 1 50 4 106 6 278 7 202 9
8 1 58 4 110 6 326 7 220 9
12 1 80 4 116 6 398 7 230 9
10 2 88 4 118 6 84 8 236 9
14 2 92 4 134 6 102 8 238 9
16 2 122 4 146 6 108 8 244 9
18 2 152 4 166 6 138 8 250 9
20 2 48 5 172 6 142 8 254 9
28 2 54 5 182 6 154 8 262 9
32 2 64 5 212 6 160 8 268 9
38 2 70 5 248 6 184 8 302 9
68 2 74 5 332 6 190 8 314 9
22 3 76 5 78 7 200 8 338 9
24 3 82 5 96 7 214 8 346 9
26 3 86 5 112 7 242 8 356 9
30 3 94 5 130 7 256 8 388 9
40 3 104 5 140 7 266 8 428 9
44 3 124 5 176 7 284 8 458 9
52 3 136 5 178 7 292 8 488 9
56 3 148 5 194 7 296 8 114 10
62 3 158 5 206 7 308 8 126 10
98 3 164 5 208 7 362 8 162 10
128 3 188 5 218 7 368 8 260 10
34 4 60 6 224 7 90 9 290 10
36 4 66 6 226 7 132 9 304 10

yangchuanju · 发表于 2023-2-9 19:42

上述偶数的素数对不都是N/2ln(N)^2，故N/2ln(N) ^2不是连续偶数素数对的下包络线。

请那老师审核！

yangchuanju · 发表于 2023-2-10 08:18

现对A000954提供的5001个素数对分别为0-5000的最大偶数进行分析，
这5001个偶数并不是一路渐增的，内有2362个偶增为负值的，即这些偶数是波浪式的增大的。
例398的素数对为7，368的素数对为8，画素数对下包络线时368的8点不再出现在下包络线上。
另据分析素数对等于1的有4个：4,6,8,12；素数对等于2的有9个：10,14,16,18,20,28,32,38,68；
除10因小于12外其余12个偶数的1点和2点都下包络线上；
素数对等于3的有11个：22,24,26,30,40,44,52,56,62,98,128；大于68的只有2个偶数，故出现在下包络线上的3点只有2个。

画下包络线时，偶数需是一路增大的；素数对也需是一路增大的，可以有多个相同的素数对点；
据此所画出的台阶式的下包络线位于所有偶数素数对点的下面，并通过了所有素数对最小的各个点。

在对各个偶数的素数对与N/2/ln(N)^2进行比对，素数对均大于N/2/ln(N)^2，
N/2/ln(N)^2与素数对的比值由N=12时的0.97波动式地减少到N=1299244时的0.656，平均比值是0.6155；
以上是N/2/ln(N)^2与单计素数对的比值，若改为双计素数对，则下限式应改为N/ln(N)^2。

yangchuanju · 发表于 2023-2-10 08:18

素数对偶数偶增 N/2/ln(N)^2 素数对-计算式分解式
0 2 —— 2.08 —— ——
1 12 10 0.97 0.03 12=2*2*3
2 68 56 1.91 0.09 68=2*2*17
3 128 60 2.72 0.28 128=2*2*2*2*2*2*2
4 152 24 3.01 0.99 152=2*2*2*19
5 188 36 3.43 1.57 188=2*2*47
6 332 144 4.93 1.07 332=2*2*83
7 398 66 5.55 1.45 398=2*199
8 368 -30 5.27 2.73 368=2*2*2*2*23
9 488 120 6.37 2.63 488=2*2*2*61
10 632 144 7.60 2.40 632=2*2*2*79
11 692 60 8.09 2.91 692=2*2*173
12 626 -66 7.55 4.45 626=2*313
13 992 366 10.42 2.58 992=2*2*2*2*2*31
14 878 -114 9.56 4.44 878=2*439
15 908 30 9.79 5.21 908=2*2*227
16 1112 204 11.30 4.70 1112=2*2*2*139
17 998 -114 10.46 6.54 998=2*499
18 1412 414 13.42 4.58 1412=2*2*353
19 1202 -210 11.95 7.05 1202=2*601
20 1448 246 13.67 6.33 1448=2*2*2*181
21 1718 270 15.48 5.52 1718=2*859
22 1532 -186 14.24 7.76 1532=2*2*383
23 1604 72 14.72 8.28 1604=2*2*401
24 1682 78 15.24 8.76 1682=2*29*29
25 2048 366 17.61 7.39 2048=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2
26 2252 204 18.90 7.10 2252=2*2*563
27 2078 -174 17.80 9.20 2078=2*1039
28 2672 594 21.46 6.54 2672=2*2*2*2*167
29 2642 -30 21.28 7.72 2642=2*1321
30 2456 -186 20.15 9.85 2456=2*2*2*307
31 2936 480 23.02 7.98 2936=2*2*2*367
32 2504 -432 20.44 11.56 2504=2*2*2*313
33 2588 84 20.95 12.05 2588=2*2*647
34 2978 390 23.27 10.73 2978=2*1489
35 3092 114 23.94 11.06 3092=2*2*773
36 3032 -60 23.59 12.41 3032=2*2*2*379
37 3218 186 24.67 12.33 3218=2*1609
38 3272 54 24.98 13.02 3272=2*2*2*409
39 3296 24 25.12 13.88 3296=2*2*2*2*2*103
40 3632 336 27.02 12.98 3632=2*2*2*2*227
41 3548 -84 26.55 14.45 3548=2*2*887
42 3754 206 27.71 14.29 3754=2*1877
43 4022 268 29.19 13.81 4022=2*2011
44 4058 36 29.39 14.61 4058=2*2029
45 4412 354 31.32 13.68 4412=2*2*1103
46 4448 36 31.52 14.48 4448=2*2*2*2*2*139
47 4174 -274 30.03 16.97 4174=2*2087
48 4478 304 31.68 16.32 4478=2*2239
49 4472 -6 31.65 17.35 4472=2*2*2*13*43
50 4688 216 32.81 17.19 4688=2*2*2*2*293
51 5078 390 34.87 16.13 5078=2*2539
52 5468 390 36.91 15.09 5468=2*2*1367
53 5288 -180 35.97 17.03 5288=2*2*2*661
54 5528 240 37.22 16.78 5528=2*2*2*691
55 5948 420 39.37 15.63 5948=2*2*1487
56 5618 -330 37.68 18.32 5618=2*53*53
57 5378 -240 36.44 20.56 5378=2*2689
58 5732 354 38.27 19.73 5732=2*2*1433
59 6068 336 39.99 19.01 6068=2*2*37*41
60 6152 84 40.41 19.59 6152=2*2*2*769
61 6368 216 41.50 19.50 6368=2*2*2*2*2*199
62 6002 -366 39.65 22.35 6002=2*3001
63 5996 -6 39.62 23.38 5996=2*2*1499
64 6506 510 42.19 21.81 6506=2*3253
65 6326 -180 41.29 23.71 6326=2*3163
66 6632 306 42.82 23.18 6632=2*2*2*829
67 7292 660 46.09 20.91 7292=2*2*1823
68 7508 216 47.14 20.86 7508=2*2*1877
69 6694 -814 43.13 25.87 6694=2*3347
70 8042 1348 49.73 20.27 8042=2*4021
71 7862 -180 48.86 22.14 7862=2*3931
72 8048 186 49.75 22.25 8048=2*2*2*2*503
73 7724 -324 48.19 24.81 7724=2*2*1931
74 7598 -126 47.58 26.42 7598=2*29*131
75 8552 954 52.16 22.84 8552=2*2*2*1069
76 8378 -174 51.33 24.67 8378=2*59*71
77 9602 1224 57.10 19.90 9602=2*4801
78 8522 -1080 52.02 25.98 8522=2*4261
79 8186 -336 50.42 28.58 8186=2*4093
80 8572 386 52.26 27.74 8572=2*2*2143
81 8564 -8 52.22 28.78 8564=2*2*2141
82 8444 -120 51.65 30.35 8444=2*2*2111
83 8846 402 53.56 29.44 8846=2*4423
84 8972 126 54.15 29.85 8972=2*2*2243
85 9404 432 56.18 28.82 9404=2*2*2351
86 9866 462 58.32 27.68 9866=2*4933
87 9304 -562 55.71 31.29 9304=2*2*2*1163
88 9488 184 56.57 31.43 9488=2*2*2*2*593
89 9368 -120 56.01 32.99 9368=2*2*2*1171
90 9766 398 57.86 32.14 9766=2*19*257
91 9838 72 58.19 32.81 9838=2*4919
92 10544 706 61.44 30.56 10544=2*2*2*2*659
93 10232 -312 60.01 32.99 10232=2*2*2*1279
94 10358 126 60.59 33.41 10358=2*5179
95 10832 474 62.75 32.25 10832=2*2*2*2*677
96 10772 -60 62.48 33.52 10772=2*2*2693
97 10958 186 63.32 33.68 10958=2*5479
98 11672 714 66.54 31.46 11672=2*2*2*1459
99 11156 -516 64.22 34.78 11156=2*2*2789
100 11456 300 65.57 34.43 11456=2*2*2*2*2*2*179
…………

yangchuanju · 发表于 2023-2-10 08:20

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-10 08:22 编辑

在对各个偶数的素数对与N/2/ln(N)^2进行比对，素数对均大于N/2/ln(N)^2，
N/2/ln(N)^2与素数对的比值由N=12时的0.97波动式地减少到N=1299244时的0.656，平均比值是0.6155；
以上是N/2/ln(N)^2与单计素数对的比值，若改为双计素数对，则下限式应改为N/ln(N)^2。

下包络线所涉及的偶数大多数是2^n或2^n*p形式的偶数，也有一些2^n*p1*p2形式的偶数，详见分解式列。

那宝吉的N/2/ln(N)^2或N/ln(N)^2可看成是素数对下限的表达式，但不是素数对下包络线的表达式。

重生888@ · 发表于 2023-2-10 11:05

在代数式N/(lnN)^2前面，（不讲精度）随便加个系数，都是素数对下限式，有何意义？，如此，哈-李早已完成了！

cuikun-186 · 发表于 2023-2-10 11:44

1.3203N/(lnN)^2
当N=6时，
1.3203*6/（ln6）^2=2.4675…
请问重生888先生，这是6的素对下限值吗？
小偶数时有反例存在，大偶数不可计算获得真值，
请问拿什么数据肯定？

cuikun-186 · 发表于 2023-2-10 11:45

重生888@ 发表于 2023-2-10 11:05
在代数式N/(lnN)^2前面，（不讲精度）随便加个系数，都是素数对下限式，有何意义？，如此，哈-李早已完成了 ...

1.3203N/(lnN)^2
当N=6时，
1.3203*6/（ln6）^2=2.4675…
请问重生888先生，这是6的素对下限值吗？
小偶数时有反例存在，大偶数不可计算获得真值，
请问拿什么数据肯定？

yangchuanju · 发表于 2023-2-11 08:23

上面给出的下包络线是一种台阶式的曲线，尚若不计素数对等于1的4,6,8点，等于2的14,16,18,20,28,32,38点，等于3的98点，……
仅取素数对等于0的偶数2，等于1的偶数12，等于2的偶数68，等于3的偶数128，接下去是4-152,5-188,6-332,7-398,9-488,10-632,11-692,15-908，……
用一种平滑曲线联结各个点，则成为一条真正的连续偶数素数对的下包络线。
现已查明，连续偶数素数对的下包络线由A174327和A174328给出的。素数对数从0到9551，偶数从2到280 6592，各1000组数字。
表中的数字是A000954数字中的记录值。

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