艾米·诺特与 R·柯朗

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艾米·诺特与 R·柯朗

作者 | 康明昌

来源 |《数学传播》2022 年第 46 卷第 3 期（183）

1. Gottingen 大学的数学教授

1895 年 David Hilbert（1862~1943）受聘到 Gottingen 大学，Felix Klein（1849~1925）的梦想，在 Gottingen 打造世界一流的数学中心，才逐步具体化 [21]。

1895 年 ~ 1933 年是 Gottingen 数学的黄金年代。

1922年 Gottingen 大学的数学系，正式成立 [24, p.83]。在此之前，Gottingen 大学没有数学系，只有四个数学教授，他们与天文学家、理论物理学者都隶属哲学学院，这些人与哲学家、语言学者、历史学者、古典学者共处，没有专供数学家使用的行政经费（只有数学图书馆专用的运作经费）。

从 1904 年开始 Gottingen 大学有四位数学教授：Klein，Hilbert，Hermann Minkowski（1864~1909），Carl Runge（1856~1927）[21, p.15]。
1909年 Minkowski 在盲肠手术之后去世，他的职位由 Edmund Landau（1877~1938）接替。

Landau 出身于柏林的富裕犹太人家庭，从大学时代到 1909 年受聘为 Gottingen 大学教授，他都在柏林大学工作、学习。Landau 在解析数论（尤其是Dirichlet series）有杰出的研究成果。

Klein 晚年健康状态不佳，因此在 1913 年提前退休（注1）。Klein 的职位由 Constantin Carathéodory（1873~1950）继任。
Carathéodory 是个土耳其（Ottoman Empire）统治下的希腊人，他是 Minkowski 的学生（1904 年博士），次年在 Gottingen 做 Habilitation。在担任 Gottingen 大学教授之前，他曾任 Bonn 大学、Technical Univ. of Hanover、Breslau 大学教授。他担任 Gottingen 大学教授五年（1913 年~1918 年）后，转任柏林大学教授。一年后离开柏林大学，接受希腊政府的邀约到希腊工作。因为希腊政局不稳，他又回到德国，在 Munich 大学任教（注2）。

Carathéodory 在 1918 年离开 Gottingen，他的职位由 Erich Hecke（1887~1947）继任。Hecke 是 Hilbert 的学生（1910 年博士），1915 年担任瑞士 Basel 大学教授，1918 年才回到 Gottingen 大学。一年后 Hecke 转到成立不久的 Hamburg 大学。
Hecke 是解析数论的权威。他在 Hamburg 大学的学生 Heinrich Behnke 后来在 Münster 大学建立德国的多复变团队 [19][p.6, p.13]。Hecke 与 Behnke 是纳粹时代支撑分析研究的主要人物，并且他们没有与纳粹份子合流。

Hecke 在 Gottingen 离职之后，他的职位由 Richard Courant（1888~1972）继任。Courant 也是 Hilbert 的学生（1910 年博士），他的妻子 Nina Runge 是 Carl Runge 的小女儿。

与 Hecke 与 Courant 同一时代 Hilbert 众多的学生之中，Courant 并不是最杰出的。由于机缘凑巧加上 Courant 是个第一流的行政人才，才使 Courant 成为 Gottingen 数学的组织者，其后还在美国开创 Courant Institute 。

因此，在 1920 年，Gottingen 大学的数学教授共有 Hilbert，Runge，Landau，Courant 四位，第二代接班的态势已呼之欲出（ 注3）。

2. Courant（1888~1972）

Richard Courant 来自西里西亚地区 Breslau 的犹太人家庭。 西里西亚（Silesia）自十九世纪已经成为普鲁士的领土，这地区位于今日波兰的西南部，二战之后划归波兰，Breslau 改名为 Wrocław 。

1907 年 10 月中旬 Courant 到 Gottingen 求学，他参加 Hilbert 与 Minkowski 主持的数学物理研讨会。Hilbert 将是他的博士论文（1910 年）与 Habilitationsschrift（1912 年）的指导教授，主题是 Dirichlet's principle [24][p.28~p.31]。在 Courant 日后的学术生涯，他不断的回到 Dirichlet's principle 这个指导主题 [14][p.81]。

做完 Habilitation 之后，Courant 就担任 Gottingen 大学讲师，直到第一次世界大战爆发应召入伍（1914 年）。

服役期间他认识出版商 Ferdinand Springer（1881~1965）与他的姪子 Julius Springer（1882~1966），他们是 Springer 出版公司的继承人。Ferdinand 掌管科学方面（数学、物理、化学、生物、医学）的业务，Julius 掌管工程方面。

Courant 与他们一见如故。Springer 出版社想出版数学方面的书籍，Courant 想到 Hurwitz 与 Hilbert 的讲义；几年之后这些构想成为现实。原先替 Klein 出版《Math. Ann. 》的莱比锡出版社 B. G. Teubner 在 1920 年中止契约，《Math. Ann. 》改成 Springer 出版社出版。1921 年 Springer 出版社的《黄皮书（Grundehren series）》开始出版。

1918年年底战争结束，Courant 复员回 Gottingen 大学担任讲师。

Courant 十四岁时家道中落，凭着自学与担任家庭教师，他不仅维持自身温饱，还完成中学学业，有时还能接济亲人。

Courant 的第一任妻子 Nelly Neumann 是他的家教学生之一，Nelly 是 Breslau 大学博士（1909 年）。他们在 1912 年结婚，1916 年离婚。Nelly Newmann 在 1942 年死于纳粹关押犹太人的集中营。

Courant 与 Nina Runge 在 1919 年 1 月结婚。

1919 年 Hecke 离开 Gottingen 大学，赴汉堡大学就职。Hilbert 与 Klein 想找 Courant 填补这个空缺。可是德国教育部有一个不成文的传统，不能从原先学校的讲师或副教授升任教授。于是 Hilbert 与 Klein 想到一个办法。Münster 大学的 Wilhelm Killing（1843~1923，Killing 见 [18][p.18]）即将退休。他们安排 Courant 到 Münster 接任。

1920 年 Courant 离开 Münster 大学，回 Gottingen 大学担任教授。同一时间，物理系的 Peter Debye（1884~1966）转赴瑞士的 ETH 任教，他的职位聘请 Max Born（1882~1970，理论物理）与 James Franck（1882~1964，实验物理）。Born 是 Runge 的学生（见 [21][p.15]）。Franck 与 Born 分别是诺贝尔物理奖 1925 年与 1954 年的得主。

Courant 回 Gottingen 主持数学物理与 PDE 的研讨会。他的学生有 ：Kurt Friedrichs（1901~1983），Hans Lewy（1904~1988），William Feller（1906~1970），Franz Rellich（1906~1955），Fritz John（1910~1994）。其中以 Friedrichs 与 Lewy 表现最杰出，Friedrichs 与 Lewy 在 1930 年代移民美国，Friedrichs 是 1976 年美国 National Medal of Science 的得主，Lewy 是 1984/85 年 Wolf 奖的得主（与 Kodaira 共同获奖，见 [19][p.4, p.10]）。Feller 日后在机率论的成就是自己闯出来的，受 Courant 的影响不大。

3. Emmy Noether（1882~1935）

Gottingen 数学第二个黄金年代（1922 年~ 1933 年）的两个亮点，一个是 Hilbert-Courant 领导的数学物理研讨会，另一个是 Emmy Noether 领导的抽象代数运动。

Emmy Noether 来自 Erlangen 。她的父亲 Max Noether（1844~1915）是 Erlangen 大学的教授，代数曲面的权威，年轻时是 Clebsch 的追随者 [21][p.4]。她的弟弟 Fritz Noether（1884~1941）是个应用数学学者，Breslau 大学教授。1933 年 Nazis（纳粹党人）排犹狂潮中，Emmy Noether 移民美国，Fritz Noether 移民俄国。结果 Fritz Noether 在 1941 年以（虚构的？）间谍罪被枪决。

Emmy Noether 是 Erlangen 大学的博士（1907 年），指导教授是她父亲的同事 Paul Gordan（1837~1912）。Gordan 有「不变量之王」之称，擅长冗长的计算。当 Hilbert 用「存在性」的方法解决当时不变量研究的大问题时，Gordan 公开反对 ：『这是神学（theology）！不是数学。』[23]。

Gordan 在 1910 年退休，他的继任者 Erhard Schmidt（1910年）与 Ernst Fischer（1911 年~ 1920 年）在和 Emmy 讨论数学时，给她新的观点。尤其是 Fischer ；从他那里，她获得许多抽象代数的启示（注4）。

在众多数学前辈中，与 Noether 思想（抽象的，概念性的）最接近的是 Richard Dedekind（1831~1916）。Noether 是 Dedekind 全集的主编。当有人表扬 Noether 某一定理时，她总喜欢说 ' Es steht alles schon bei Dedekind（All of this is already in Dedekind）'。Dedekind 是 Gauss 的学生，见 [21][p.3, p.5]。

1913 年 Emmy 陪同她父亲到 Gottingen 拜访 Klein ，因为《Math. Ann. 》委托 Max Noether 写一篇纪念 Gordan 的文章。Klein 对于 Emmy 数学知识的广度印象十分深刻。

1915 年 Emmy Noether 获得 Hilbert 与 Klein 的邀请到 Gottingen 大学做博士后研究。Hilbert 这时正在用 Einstein 的广义相对论探索场论的问题，他需要一个不变量的专家协助他。

Hilbert 与 Klein 支持她做 Habilitation，可是却遭到哲学学院内部人文学者与历史学者的反对：

『女性通过 Habilitation ，她就可以进入大学当讲师，进而升等为副教授、教授。这是被认可的吗？如果我们的士兵打完仗（一次大战）回到学校，竟然发现他们必须在女性脚底下受教，这让他们情何以堪？』

Hilbert 当场予以反击，他说 ：'先生们，我不赞同把 Habilitation 候选人的性别做为反对的理由。这个议场毕竟不是澡堂！』[23][p.143]。

双方僵持不下，只好把案子交由德国教育部（文化部）裁决。教育部也不愿开个先例，妥协的结果是，Noether 想要开设的课程必须挂在 Hilbert 的名下。例如，1916/17 冬季学期的选课单就有一门如下的课程：

Mathematical Physics Seminar: Prof. Hilbert with the assistance of Dr. E. Noether, no tuition.

1918 年 7 月 Klein 在 Gottingen Gesellschaft（Royal Society of Gottingen）宣读 Emmy Noether 一篇论文 [33][p.67, p.83], [13][p.23]。这是场物理（field physics）方面的研究（对称性与守恒律）。

从 1907 年 Noether 完成博士论文，经过 12 年她才得以用这篇对称性与守恒律的论文做 Habilitation，可以体会二十世纪初期对女性根深蒂固的成见。如果不是一次大战守旧体制略为松动，Noether 还不一定能在 1919 年做 Habilitation。

1921 年她出版论文《Idealtheorie in Ringbereichen》，她把许多经典的定理从多项式环推广到 Noether 环 ：一个交换环叫做 Noether 环，如果它的每个理想（ideal）都是有限生成的。

1922 年她成为 Gottingen 大学编制外的副教授（不支薪）。直到第二年，德国经历了史无前例的通货膨胀，她才得以支领微薄的薪资。

以 1923 年德国马克对美元的汇率来看，1923 年 7 月 1 日是 160,000 : 1，10 月 1 日升高为 242,000,000 : 1，到了 11 月 20 日就飞升到 4,200,000,000 : 1 [24][p.97]。德国政府宣布国家进入紧急状态，停止使用旧马克，发行新的货币（Rentenmark），才遏止这次可怕的货币贬值。

这几年的通货膨胀使 Klein 通过 Gottingen Association 募捐到的钱化为乌有 [21][p.14]。

4. 抽象代数运动

Emmy Noether 其实很少写论文。她在抽象代数的创见有许多出现在她上课的内容、与他人讨论的对话或她的学生、朋友出版的论文与书籍。最有名的是 van der Waerden 的书 “Moderne Algebra”（1930/1931）。这本书把抽象代数的理念、方法与应用，传播到世界各地。



有一些年轻人围绕在 Noether 身边听取她的预言一般的论断（insights），（例如，采用同调群取代 Betti 数）。Gottingen 大学的人把他们称为 Noether 的孩子们（Noether's boys）。

这些人之中，Levitzki ，Deuring ，Chiung-Tze Tsen（曾炯之），Witt 都是 Noether 的学生。Krull ，van der Waerden ，Aleksandrov 不是 Noether 的学生，他们只是 Gottingen 大学的访客，同时是 Noether 研讨会的成员。Hasse 与 Artin 已是成名人物，与 Noether 声气相通，变成好朋友。Richard Brauer 根本没有到过 Gottingen，他与 Noether 通过通信讨论数学 [33][p.56], [27]。

Wolfgang Krull（1899~1971）在 1921/1922 到 Gottingen 听了两学期 Noether 的课，他是交换代数的开创者之一。他的书《Idealtheorie》（Springer，Berlin，1935）可以说是第一本交换代数的专著。二十世纪初期，与交换代数有关的数学统称为 ideal theory 。

Bartel L. van der Waerden（1903~1996）来自荷兰，他参加 Noether 的研讨会是想寻求一些工具，可以把代数几何建立在严谨的基础（注5）。他找到的工具就是 Noether 的抽象代数。

从 1923 年夏天开始，俄国数学家 P.S. Aleksandrov（1896~1982）每年总会带几个俄国人（如，Urysohn ，Kolmogorov ，Pontryagin ，Gelfond）到 Gottingen 访问 [24][p.106]。他们是 Noether 研讨会的座上客，他们也介绍自己的研究成果 [17][p.22]。Gottingen 的人可以看到 Schnirelman 光着脚在 Gottingen 街道行走。英文作者习惯把 Aleksandrov 写成 Alexandroff。

就在 Gottingen ，Aleksandrov 认识另一个拓朴学者 Heinz Hopf（1894~1971）。Hopf 与 Courant 来自 Breslau 同一间中学，但是时间不同（注6）。Hopf 是柏林大学 Erhard Schmidt（1876~1959）的学生，到 Gottingen 大学做博士后研究。Hopf 与 Aleksandrov 都深受 Noether 影响，Noether 建议他们，在研究拓朴学用同调群代替 Betti numbers 。

Hopf 与 Aleksandrov 合写一本书《Topology，Part I，（1935）》。这本书的 Part II 始终没有出版。

Noether 的学生 J. Levitzki（1904~1956）来自巴勒斯坦（Palestine），曾炯之是中国人。他们做完博士后研究就回到本国，Levitzki 有一个学生 S. A. Amitsur（1921~1994，1950 年 Hebrew 大学博士）是杰出的代数学者。曾炯之的研究工作，Tsen's 定理（注7）与 Ci -fields，在代数几何极为重要。曾炯之回中国后任教浙江大学、北洋大学、西北联合大学，1940 年在西昌（西康地区）胃溃疡去世，详见 [8]。

1927 年之前 Noether 的研究兴趣集中在交换代数，例如 Lasker-Noether 定理（注8）。1927 年之后她与 Hasse，Brauer 频繁通信，她的兴趣逐渐转到非交换有限维代数。

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5. Noether 与单环

在交换环，Noether 用 ascending chain condition 整合许多重要的定理。在不可交换环，她用有限单代数做为理解表示论（Wedderburn 定理）与数论（Norm residue symbols）的枢纽。她说，『Norm residue symbols 只不过是循环代数。』 [33][p.52]，参看 [13]。

单代数的理论基础是 Noether 与 Richard Brauer 独立建立的。他们相互承认对方的贡献。Brauer 这时是 Konigsberg 大学的讲师 [33][p.50]。

Skolem-Noether 定理与 double centralizers 定理 [10], [12] 出现在 Noether 上课的讲义（不同的年代！） [33][p.49]。Noether 习惯一边上课，一边思考她想要证明的定理（定理内容、形式及其证明）。

Hermann Weyl 任教于瑞士苏黎世的 ETH，1913 年~1930 年，1930 年 Hilbert 退休，他才回 Gottingen 大学继承 Hilbert 的职位。Weyl 说 ：『在我任教 Gottingen 大学的 1930 年~1933 年，Noether 不管是研究成果的丰硕，或是（对学生或访问学者）影响力的深邃，始终是系里学术活动的重心』。[33][p.53]




6. 数学大楼落成

Peter D. Lax 在纪念 Courant 的一篇文章 [14] 列出以下论文，为 Courant 的代表作（Selected bibliography）：

(1） Math. Z. 3(1918）, 321~328.

(2） Eigenvectors of differential equations, Math. Z. 7(1920）, 1-57.

(3） Hurwitz-Courant, Complex functions, 1922, Springer.

(4） Courant-Hibert, Methods of mathematical physics vol. 1, 1924, Springer（vol. 2, 1937）.

(5） Courant-Friedrichs-Lewy, On PDE's in mathematical physics, Math. Ann., 100（1928）, 32-74.

(6） Differential and integral calculus, 1930~1931, Springer.

(7） Plateau's problem and Dirichlet's principle, Ann. Math. 38(1937）, 679-724.

(8） Minimal surfaces, Acta Math. 72(1940）, 51-98.

(9） Courant-Robbins, What is mathematics? Oxford Press, 1941.

(10） Courant-Friedrichs, Supersosic flow and shock waves, Wiley-Interscience, 1948.

比较 Courant 与 Noether 的著作 [13]。Noether 在场物理，交换代数或 Brauer-Hasse-Noether 定理（亦称 Albert-Brauer-Hasse-Noether 定理）的贡献都较为广阔深入。Noether 的思想透过抽象代数渗透到代数、数论、拓朴、表示论等许多领域。

不过 Courant 的贡献在别的方面，他是一个第一流的行政公关人才，Klein 当年朝思暮想要建立的数学大楼竟在 Courant 手中完成。

Rockefeller 基金会同意捐出 35 万美元作为大楼的建筑费用，德国教育部负责维修经费。崭新的 Gottingen 数学所大楼在 1929 年 12 月 2 日落成 [24][p.125]，Courant 成为数学所的所长。而 Klein 早在 1925 年去世。

一件可怕的事，就在新大楼落成典礼之前不到一个礼拜发生，1929 年 11 月 29 日纽约华尔街发生股市大崩盘，引发长达十年的全球经济不景气。经济萧条促使许多人在政治态度倾向激进的纳粹党（右翼）与共产党（左翼）。

以德国国会选举而论，1928 年 5 月 NAZIS（纳粹党）只有 12 席，1930 年 9 月 NAZIS 有 107 席，1932 年 7 月 NAZIS 有 230 席，11 月重新选举仍有 196 席，成为国会未过半的第一大党。

1933 年 1 月 30 日德国总统兴登堡任命 NAZIS 的党魁希特勒为总理，1933 年 3 月 15 日国会重新选举。在重新选举之前，2 月 27 日发生国会大厦纵火案，次日国会火灾命令通过，国会第二大党共产党被禁止参加 3 月的国会选举，NAZIS 的冲锋队占领德国全国的共产党党部，并逮捕共产党领袖。3 月 15 日的国会选举，NAZIS 赢得国会 44% 的席次。

1933 年 3 月国会通过授权法案，希特勒已平稳地走向独裁者之路。

NAZIS 取得政权之后，推动各种反犹太人的法案，造成 Gottingen 数学所的崩坏。

7. 数学物理方法

Courant-Hilbert 的《数学物理方法》本来规划以 Hilbert 的讲义为基础介绍数学物理的方法。这个构想没有付诸实现，Hilbert 实际上没有参与这本书（Part I 与 Part II）的写作，完全是 Courant 一个人和他的学生（或助理）写的。

《数学物理方法（Part I）》在 1924 年出版，初稿是 Pascual Jordan 写的 [24][p.93]。Jordan 后来跟 Max Born 学物理。

Born-Jordan（1925 年），Heisenberg-Born-Jordan（1926），Jordan-von Neumann-Wigner（1934，Ann. Math.）成为量子物理的经典文献 [24][p.113]。

1933 年诺贝尔物理奖颁给 Heisenberg ，Schrodinger 与 Dirac 三人，1954 年颁给 Born 与 Bothe 。有人断言 [16], [36]，如果 Jordan 不是在 1933 年加入 NAZIS ，相信也在 1954 年诺贝尔物理奖获奖名单之中（注9）[21][p.18]。

Ackermann-Teubner 纪念奖在 1914 年~1941 年颁给 14 位科学家，Klein 是第一位得奖人，Prandtl 是 1918 年得奖者（见 [21][p.16]），Blaschke 是 1926 年得奖人，Emmy Noether 与 Emil Artin 共同在 1932 年得奖，Pascual Jordan 在 1937 年得奖，Hecke 在 1939 年得奖。Noether 在移民美国之前仍然是编制外的副教授；Ackermann-Teubner 纪念奖是公开认可她的学术成就的唯一奖项。

《数学物理方法》的内容是 Courant 与他的学生多次讨论才定稿的。Part II 在 1937 年才出版，Friedrichs 参与这部分的讨论更多。

Friedrichs 与 Lewy 在 1922 年到 Gottingen ，当时 Lewy 刚从高中毕业，Friedrichs 比他大三岁，已唸完大学。Lewy 对于知识丰富、反应灵敏的 Friedrichs 十分佩服。他们成为好朋友，合写了不少论文。Courant-Friedrichs-Lewy 更是一篇有名的论文《偏微分方程数值解，1928 年》。

Friedrichs 是一个内向、安于现状的学生。他在 Gottingen 工作两年之后，1929 年 Courant 安排他到 Aachen 大学当 von Kármán 的助手。根据 Lewy 的回忆，他送 Friedrichs 去 Gottingen 火车站搭车到 Aachen 时，Friedrichs 十分难过，但是这是 Courant 的安排，他不敢违抗。Courant 要把他培养像 Runge 那样的应用数学家。Friedrichs 日后才理解 Courant 的用意。

8. 出走

纳粹党人取得政权之后（1933年1月），开始进行一系列的排犹行动。他们把 1933 年 4 月 1 日定为「抵制日（Boycott Day）」，他们呼吁德国民众不要到犹太商店消费，不要让犹太教授、讲师进入大学校园。

1933 年 4 月 7 日国会通过「公务人员任用法（Law for civil service）」，规定「非雅利安人（non-Aryan）」不得担任公务人员、教授、讲师，除非另有规定。所谓非雅利安人就是当事人的四个祖父母中至少有一个不是雅利安人；非雅利安人主要是针对犹太人。

1935 年又通过《混合婚姻法》，禁止雅利安人与非雅利安人结婚。雅利安教授如果不同意与非雅利安配偶离婚，学校得予以开除其职位。

根据 1933 年 4 月 26 日 Gottingen 当地报纸报导，根据「公务人员任用法」，Gottingen 大学有 6 个教授被勒令请假直到另有通知；这 6 个教授有 4 个来自科学学院，他们是数学所的 Courant ，Noether ，Felix Bernstein（注10）与物理所的 Max Born 。数学所的 Landau 与物理所的 James Franck 因为在第一次大战时服役，不适用「公务人员任用法」。这些另有规定的例外情形在 1935 年都被取消（纽伦堡法）。

第一个打包移民的是 Lewy ，他申请到美国 Brown 大学两年的职位（1933 年~1935 年）。两年后他得到加州 Berkeley 大学三年的职位。这时碰上 Berkeley 找来 Griffith Evans（1887~1972）整顿 Berkeley 数学系，Evans招聘许多年轻有潜力的数学家。如 ：Charles B. Morrey Jr.（1907~1984），Lewy ，Neyman（统计学者），Tarski（逻辑）。Lewy  因此就留在 Berkeley 。

Brauer-Hasse-Noether 定理里面的 Richard Brauer（1901~1977）也是 1933 年 11 月左右移民美国的。他是柏林大学 I. Schur 的学生，被 NAZIS 开除时是 Konigsberg 大学的讲师。Kentucky 大学提供一个为期一年的职位，他没有拣精拣肥，立即动身上道，横渡大西洋，随身带一本英文字典。一年期满，他到 Princeton 当 Hermann Weyl 的助理（IAS）。一年聘约期满之后，他获得 Univ.of Toronto 的聘书，从此稳定下来。他是有限群模表示论（Brauer lifts，block theory）的创立者，有限群理论的领导者，1950 年代后期他鼓励研究有限单群的分类。

Hermann Weyl（1885~1955）在 Hilbert 退休后（1930年）才到 Gottingen 大学任教。他本来不受 NAZIS 歧视犹太人法条的影响，因为他是真正的雅利安人。但是他的妻子是犹太人，因此他的两个儿子是属于非雅利安人。Weyl 因此在 1933 年接受 Princeton IAS 的聘书，移民美国。

Emmy Noether 最先没有接到任何邀约，因为当时美国各大学几乎没有女性的教授。后来宾州的 Bryn Mawr College（专收女生）的系主任邀请她去任教。她才在 1933 年 10 月移民美国。

Courant 的朋友帮助他找关系陈情，希望 Courant 不会被政府开除。1934 年 1 月底，纽约大学（NYU）表示愿意提供两年期的聘书，两年期满之后有很大机会可以续约。NYU 的薪资是每年 4，000 美元，当时德国教授的薪资（换算成美金）是每年 12,000 元。并且每年 4,000 美元，比 1883 年 Johns Hopkins 邀请 Klein 的价码还少了 1,000 元 [24][p.158]。

NYU 是一所私立大学，靠学生缴交的学费维持运作，促使 NYU 伸出援手的是该校一名年轻教师 Donald Flanders（1900~1958）。Flanders 似乎是一个（思想上的）左翼青年，他与 Alger Hiss（1904~1996）是好朋友 [24][p.158, p.293]。Hiss 后来因红色间谍案与伪证罪入狱服刑。Flanders 还到监狱探望。

1934 年 8 月 21 日 Courant 全家终于抵达纽约。他将在 NYU 重新打造一个世界一流的应用数学中心，Courant Institute of Mathematical Sciences（1965）。

留在 Gottingen 的教授只剩 Landau 与 Herglotz 。Landau 在 1933 年 11 月 2 日遭到一群学生抵制上课（注12）。他在 1934 年 2 月 7 日退休，1938 年 2 月 19 日心脏病去世。

Herglotz 杰出的学生 Emil Artin（1898~1962），汉堡大学教授 [18][p.11]，也移民美国（1937 年），因为他的妻子 Natascha 是半个犹太人，因此他们的女儿与儿子按照纳粹的法律都是非雅利安人。

9.  Noether 去世

Bryn Mawr College，是 19 世纪教友会信众（Quaker）成立的大学，Noether 在这里渡过快乐的两年（1933 年~1935 年）。1934 年 2 月起她在 Princeton IAS 主持研讨会，她的朋友 Weyl ，Brauer ，Vandiver ，Veblen 都来听讲。1934 年夏天她还回到德国一趟。

1935 年 4 月医生诊断她的腹部有肿瘤。两天后开刀，发现还有另外的肿瘤，医生判断是良性肿瘤，因此没有处理。第四天病情突然恶化，还发高烧，当天就去世。

Emmy Noether 去世后，Weyl、van der Waerden、Aleksandrov 分别在美国、德国、俄国发表纪念文章：

Weyl, Emmy Noether, Scripta Math. 3(1935）, 201-220；see [7].

Van der Waerden, Math. Ann. 111(1935）, 469-476；see [3].

Aleksandrov, see [3].

在 Noether 的葬礼，Weyl 发表简短动人的致辞，原文见 [16]。

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10. Courant Institute 的成立

1937 年秋天，Courant ，Friedrichs ，Stoker 在纽约见面 [24][p.202]。

James J. Stoker（1905~1992）不是 Courant 的学生，他是工程背景出身（Carnegie Inst. of Technology 机械系助理教授），到瑞士 ETH 跟拓朴学家 Heinz Hopf 写博士论文，论文主题是微分几何方面的问题。

Courant 与 Stoker 在纽约第一次见面（1936 年 12 月）。Courant 立即决定聘用 Stoker 为 NYU 的助理教授。

Friedrichs 不是犹太人，不受纳粹排犹法案影响。在希特勒成为总理四天后 [24][p.176]，Friedrichs 认识一个女朋友，她是个犹太人。在《混合婚姻法》颁布之后，他们不能结婚。因此 Friedrichs 也必须移民美国。

Friedrichs 是役男，不能随意出境；但是他有一个姊妹在法国，他可以去探望她。他的女朋友的父母住在法国，因此她有一份法国护照，可以先到法国等 Friedrichs 。

在 1937 年 7 月 NYU 同意短期的聘用 Friedrichs ，年薪 3,000 美元，半数由 Rockfeller 基金会提供，半数由NYU Graduate Center 的友人支付（Courant ？）。Friedrichs 与他的女朋友可以在加拿大会合，再到美国。

Courant，Friedrichs，Stoker 共同把 NYU 的数学系打造成世界一流的应用数学中心。这个数学系在 1965 年改名为 Courant Institute of Mathematical Sciences。它培育许多第一流的人才，例如，Peter D. Lax（1926~）是来自匈牙利的犹太人，1941 年年底才抵达美国；他是 Friedrichs 的学生。Louis Nirenberg（1925~2020）在加拿大 Montreal 大学唸物理，他认识 Courant 的媳妇 Sara。透过 Sara，他问 Courant，到美国哪一家大学唸物理，结果却收到 NYU 数学系的助教奖学金的通知信函。Nirenberg 后来成为 Stoker 的学生。

Courant Institute 在成功的道路上一路走来，却也夹杂羡慕、嫉妒、敌对的声音。

早在 1941 年 Courant 就开始推销他的「国家科学基地（National Science Institute）」的构想 [24][p.226]。这时巴尔干半岛已被轴心国占领，英军从北非撤退，德军入侵俄国。Courant 把他的科学基地说成「紧急基地（emergency institute）」，他期望政界、新闻界、学术界的人能公开支持他。学术界的人，他心里想的一个人，就是 Theodore von Kármán（1881~1963，[21][p.1819]）；Courant 与 von Kármán 都出身自 Gottingen 。von Kármán 却不认为 Courant 是一个真正的应用数学家。他觉得 Courant 的构想只不过是一种山寨版的 Klein 计划（a cheap imitation of Felix Klein）[24][p.226]。

事实上有许多人并不喜欢 Courant，如 G. Szego 与 von Neumann（注 13）[1][p.143]。最有力的反对 Courant 的计划来自 Brown 大学的 R. G. D. Richardson（1878~1949）。Richardson 来自加拿大，是 Yale 大学的博士，1908 年到 Gottingen 大学进修。Richardson 抢先一步在 Brown 大学推动类似的应用数学计划 [24][p.228]。

11. George D. Birkhoff

反对 Courant 的另外一股势力来自 Harvard 大学的 George D. Birkhoff（1884~1944）。Birkhoff 是当时美国数学界的领袖。

Birkhoff 是芝加哥大学 E. H. Moore 的学生（1907 年博士）。Poincaré 在 1912 年提出 Poincaré Last Geometric Theorem ，这是 3-body problem 的特殊情形；Poincaré 只是在几个情况给出证明，1913 年 Birkhoff 发现完整的证明。

Birkhoff 的研究领域涵盖面相当宽广，主要以动力系统与 ergodic theory 为主。他的学生有 ：Carmichael（1911年），Marston Morse（1917 年），J. Walsh（1920 年），R. Langer（1922 年），D. Widder（1924 年），Marshall Stone（1926 年，[19][p.13]），Hassley Whitney（1932 年）。本文第8节提到的 Charles B. Morrey Jr.  也是 Birkhoff 的学生（1931 年）。详见 [15], [35], [34], [22]。

Birkhoff 交游广阔，来往密切的欧洲数学家有 ：Hadamard（法国）、Levi-Civita（意大利）Whittaker（英国）。他的儿子 Garrett Birkhoff（1911~1986）也是有名的数学家，但是距离他杰出的父亲甚远。

Courant 与 George Birkhoff 冲突的来源是资源分配的问题。

Courant 想尽办法要替他的 Gottingen 学生与友人争取美国大学的职位。Birkhoff 站在美国本土培育的年轻学者的立场，当然要反对。

1938 年 9 月 Birkhoff 在美国与加拿大数学联合会呼吁大家要正视欧洲难民对美国本土数学家的成长可能产生的伤害 [24][p.212]。当时美国还没有从经济大萧条恢复，许多年轻人找不到工作（见本文注11）。人道的考量与美国优先的立场是不共容的。

许多与会者对 Birkhoff 的演讲报以掌声。Courant 却认为 Birkhoff 的观点是狭隘而且错误的 [24][p.213]。

Birkhoff 在 1944 年去世。但是 Reid 的书 [24] 却引起反弹。Birkhoff 的学生 Stone 在书评 [32] 指出，Reid 的书 [24] 是由 Courant 与他的学生单方面提出的资料建构而成，没有善尽历史学者从各个角度查证的责任。他进一步质疑 Courant 的数学成就。

Courant 只是现代社会高级的「营销者」，并不是尖端技术的「研发者」。他当然不能与 Gottingen 先贤 ：Gauss ，Riemann ，Schwarz ，Hilbert 相提并论。在硬功夫方面，他连 Klein 都比不上，然而他是第一流的行政公关人才，功不可没。

后记

1928 年年底 Aleksandrov 邀请 Noether 到莫斯科大学讲学（「近世代数」，一学期），Deuring 做笔记。听众有 ：Aleksandrov ，Pontryagin ，Kurosh [17][p.22, p.29]。Noether 回国后盛赞俄国的社会改革，因此被视为马克斯主义者。

Courant-Robbins 的书《What is mathematics ？》原先有一个比较平实的书名：《Mathematical Discussions of Basic Elementary Problems for the General Public》，为了促销才采用现在的书名。这本书作者原先只有 Courant 一个作者，经过 Robbins 激烈的抗议，才变成两人共着。详见 [24][p.223-p.232]。

注释

注1：Klein 退休后还会开一些课，就在他自己家中上课。例如，Klein 的书《十九世纪数学史（Development of mathematics in the 19th century）》就是在他家中上课的记录。

有一次 Klein 感觉他的体力衰退得很快，他预感离死亡之日已不久了，于是找来秘书与助理，交代他的丧礼一些事项。事后 Klein 并没有去世，使他非常沮丧 [24][p.100]。

Klein 关心所有阶段的数学教育。他在数学图书馆的阅览室摆放一些初等数学的书籍。后来的管理员 Otto Neugebauer（1899~1990，Hilbert 的学生，是个很好的数学家）把这些初等数学的书放在最顶层的书架（束之高阁），Klein 知道后，把 Neugebauer 叫来，只说了一句话：『新来一个不知道法老王（Pharaoh）威权的摩西（Moses）』[24][p.100]。

注2：Carathéodory 三岁时，他的父亲被任命为土耳其驻布鲁塞尔的大使，从此他在欧洲长大受教育（主要在比利时）。Carathéodory 最先接受工程师的养成教育，曾参与埃及的铁路与水坝的建造。27 岁时决心唸数学，1900 年 5 月他参加柏林大学的 Schwarz 研讨会，每个月两次的研讨会由 Schwarz 亲自讲解他的全集的部分论文。1902 年夏天他到 Gottingen 大学书书，1904 年完成博士论文，指导教授是 Minkowski ，论文是 Calculus of variations 方面的问题，次年做 Habilitation ，接着在 Gottingen 大学当了三年的讲师。

Carathéodory 的专长是分析，他在实函数、复变函数、测度论、PDE、热力学有许多创见 [2][p.107]。

注3：1925 年 Klein 去世，同年 Runge 退休。Runge 的职位由 Gustav Herglotz（1881~1953）继任。Herglotz 兼具纯数与应用数学的专长，是 Emil Artin 博士论文的指导教授 [18]。

Herglotz 在捷克出生，在维也纳长大，Munich 大学博士（指导教授是 Seelinger 与 Boltzmann），曾担任 Gottingen 大学副教授（1907年），维也纳大学（1908年）与 Leipzig 大学（1909年）教授。



注5：枚举几何（enumerative geometry）典型的问题是 ：给定平面已知三圆，求解同时与这三个圆相切的所有圆的数目（Apollonius问题）。Schubert 有一套方法计算这个数目（Schubert calculus），可惜 Schubert calculus 没有严谨的理论基础。Hilbert 第 15 个问题要求对 Schubert calculus 给予严谨的理论证明。由此 van der Waerden 对于几何理论的严格基础兴趣极高。

从 1926 年到 1934 年，van der Waerden 写了许多论文讨论代数几何的基础，他建立了一般点（generic point）与相交重数（intersection multiplicity）的概念。这些结果经　AndréWeil　发展成更完整的理论 [18][p.15]。Weil 重写的代数几何基础与 Zariski 重写的并不相同。

注6：Courant 与 Hopf 中学时代有一个叫做 Maschke 的老师（这个 Maschke 与表现理论的 Maschke 是不同的人），他搜罗一些数学难题给心爱的学生做。每次 Hopf 解决一个问题，Maschke 就说：＇这个问题，Courant 以前也会做。＇

Breslau 出了不少知名数学家，如 ：Otto Toeplitz（1881~1940），Max Born（1882~ 1970），Ernst Hellinger（1883~1950），Courant，Hopf 以及 Hans Lewy。Toeplitz 是他们的老大哥，由于他的鼓吹，后来的 Born 等人才到 Gottingen。但是 Toeplitz 只是在 Gottingen 做博士後研究，他是 Breslau 大学的博士。

注7：Tsen's 定理 ：若  V 是定义在 C 的不可约代数曲线，且 K :=C( V) 是 V 的函数体，则  Br( K)=0  。

注8：Lasker 定理是 Kummer-Dedekind 定理在多项式里的推广。Lasker 定理 ：设 K 是体，A=K[x1,…,xn] 或 A=[Z[x1,…,xn] 是 K 或 Z 的多项式环。如果 I∈A 是任意的理想集（ideal），则 I=Q1∩Q2∩…∩Qm ，其中 Qj 是某些拟质理想集（primary ideal）。

Noether 把 Lasker 定理的多项式环推广到满足 ACC 条件（ascending chain condition on ideals）的交换环。有关 Lasker-Noether 定理，见《Zariski-Samuel，Commutative Algebra，vol. 1，208-213》。

Lasker 是 Hilbert 的学生，他是国际西洋棋的冠军，从 1894 年打败 Wilhelm Steinitz 到 1921 年败给 J. R. Capablanca，连续 27 年的冠军。

注9：Pascual Jordan 是不排犹太人的纳粹党员。像 Hasse 一样，他只是 German Nationalist 。他使用匿名写文章反对 Bieberbach 支持的 Deutsche Math. 与 Deutsche Physics 的论点。

注10：Felix Bernstein（1878~1956）是集合论里面 Schroder-Bernstein 定理的 Bernstein（两个集合 S 与 T ，如果存在单射 f : S → T 与单射 g : T → S ，则 | S |=| T | ）。这个 Bernstein 后来变成统计学家，1921 年创立 Gottingen 大学的统计所。

注11：Lewy 在 Brown 大学那两年，每年可领到 3,000 美金 [1]。根据 [24][p.213]，1938 年美国还没有从大萧条复元，当时新进人员最幸运的一年可领到 2,400 美元，Princeton 高等研究所（IAS）的博士后每年 1,000 美元，有些大学的助教奖学金每年 750 美元，更悲惨的是有些人任何职位都没有。

注12：领导这些纳粹学生的不是别人，而是 Oswald Teichmüller（1913~1942）。Teichmüller 是 Gottingen 大学的天才学生。Teichmüller space 是几何函数论一个重要研究课题。在 1940 年 1 月 Teichmüller 在 NAZIS 军方从事破解密码的工作（cryptography），Noether 的学生 Witt 也在同一单位工作 [36], [16]。同样的时间，英国有一个规模更大的破解密码的团队（Bletchley Park），参与的人有 Turing ，Max Newman ，J. H. C. Whitehead ；详见 [4]。斯大林格勒战役时（1942 年 7 月 ~ 1943 年 2 月），Teichmüller 自动请纓到德国东战场前线，参加斯大林格勒战役。1942 年 9 月德军溃败时，他似乎还活着，以后就失踪，相信已经战死了。斯大林格勒（Stalingrad）在俄罗斯南部，伏尔加河（窝瓦河）西岸，原名 Tsaritsyn ，1925 年改名斯大林格勒，1961 年再改名为伏尔加格勒（Volgograd）。

注13：G. G. Szego（1895~1985）与 John von Neumann（1903~1957）来自奥匈帝国（匈牙利犹太人），G. Szego 的专长是函数论、正交多项式、等周不等式，von Neumann 的专长是量子力学、game theory 、computer 。他们都曾在柏林大学工作 [2]。1931 年 von Neumann 到 Princeton 大学访问，1933 年获 Princeton IAS 聘为教授。在纳粹施行排犹政策之后，G. Szego 离开德国，1935 年担任 Stanford 大学教授，1939 年担任数学系系主任。Stanford 数学系在三任系主任（Blichfeldt，Uspensky，G. Szego）经营之下才脱胎换骨 [11]。

Von Neumann 在高中时代就已经是数学资优生，G. Szego 被指定是他的 tutor [16]。G. Szego 是 Lax 的 uncle-in-law [16]，因此他们对 Courant 的评价，在 Lax 面前，是不掩饰 [1][p.143]。

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[36]Wikipedia, available via Google.

本文作者为台大数学系退休教授

Future_maths

神秘莫测的数学，一头雾水。