ΔABC 中，D 是 BC 上一点，E 是 AC 上一点，AD=BC，BE=BD，FB=FD，求作这个三角形

天山草

三角形 ABC 中，D 是 BC 上的一点，E 是 AC 上的一点。要求 AD = BC，BE = BD，FB =FD。

求作这个三角形。这种三角形的形状是唯一的？ 还是有无穷多的形状？

Treenewbee

设
\[B(0,0),C(1,0),D(r,0),E(r*cos\theta,r*sin\theta),A(r-cos\theta,sin\theta)\]

E在AC上，故：\[\frac{r*sin\theta}{r*cos\theta-1}=\frac{sin\theta}{r-cos\theta-1}\]

解得A点坐标：

\[x=\frac{r^2+r-1}{2r}\]\[y^2=1-(\frac{r^2-r+1}{2r})^2，0<r<1\]

Treenewbee

Treenewbee 发表于 2023-2-11 23:49
设

\[cos\theta=\frac{r^2-r+1}{2r}\]
\[r \in (\frac{3-\sqrt5}{2},1)\]

Treenewbee

天山草

@Treenewbee：  题目要求  AD=BC，上面这些图全是 AD>BC，不符合要求。

王守恩

\(已知∠B,∠C,\ \ 求∠EBC=2\theta(唯一解)\)

\(\frac{\sin(2\theta)\sin(90-3\theta)\sin(2\theta+C)\sin(B+2\theta)}{\sin(2\theta)\sin(90-\theta)\sin(2\theta-C)\sin(B-2\theta)}=1\)

Treenewbee

时空伴随者

天山草

再增加一个条件：∠CED + ∠BAC =∠ABE，这三角形就是唯一的吧？

新题目：

三角形 ABC 中，D 是 BC 上的一点，E 是 AC 上的一点。要求 AD = BC，BE = BD，FB =FD，并且 ∠CED + ∠BAC =∠ABE，

求作这个三角形。

天山草

新题目解答如下：



答案： ∠ADE=36度。

如果令  \(BC=1\)，符合题目要求的 \(BD=\frac{1}{4}(3+\sqrt{5}-\sqrt{6\sqrt{5}-2} )\)。