完美立方体不存在

yangchuanju · 发表于 2023-2-12 12:29

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-12 12:43 编辑

完美立方体
五个简单但是数学家不能解决的问题（3）：完美立方体问题
话说在1719年，一个叫Paul Halcke的会计，也为专天文学家计算的工程师发现了三个数字，44,117, 240。如果你把这三个数任取两个，求平方和，结果仍旧是一个完全平方数。
如果你把这三个数作为一个长方体的三条边，你会发现这个长方体不但所有边是整数，所有面的对角线也是整数。符合这种条件的长方体称为欧拉砖。

完美立方体是啥呢：找一个欧拉砖，使体对角线也是整数！
数学家至今没有找到这样的三元组，也不能证明它不存在。

yangchuanju · 发表于 2023-2-12 12:30

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-12 12:31 编辑

据网页https://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html资料有
完美长方体
图片复制不下来，故忽略。
完美长方体是具有整数边长、整数面对角线的长方体
Dab=√(a^2+b^2)
Dac=√(a^2+c^2)
Dbc=√(b^2+c^2

和一个整数空间对角线
Dabc=√(a^2+b^2+c^2)

找到这样一个长方体的问题也称为积木问题、对角线问题、完美盒子问题、完美长方体问题或有理长方体问题。
尽管对所有“奇数边”进行了详尽的搜索，但直到10^10 （巴特勒，私人通讯，2004 年 12 月 23 日），仍未发现完美的长方体。
求解完美长方体问题等同于求解丢番图方程
A^2+B^2=C^2
A^2+D^2=E^2
B^2+D^2=F^2
B^2+E^2=G^2

具有整数空间对角线和两条面对角线的解是a=672、b=153、c=104、Dab=3*√52777、Dac=680、Dbc=185和Dabc=697，这是欧拉已知的。
具有整数空间对角线和三条面对角线的解是a=18720、b=√211773121、c=7800、Dab=23711、Dac=20280、Dbc=16511和Dabc=24961。

yangchuanju · 发表于 2023-2-12 12:32

据网页https://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html资料有
欧拉砖
图片复制不下来，故忽略。
欧拉砖是具有整数边和面对角线的长方体a>b>c
Dab=√(a^2+b^2)
Dac=√(a^2+c^2)
Dbc=√(b^2+c^2
如果空间对角线也是整数，则欧拉砖被称为完美长方体，尽管目前还没有完美长方体的例子。
最小的欧拉砖具有边(a,b,c)=(240,117,44)和面对角线Dab=267,Dac=244和Dbc=125，由 Halcke 发现（1719 年；Dickson 2005 年，第 497-500 页）。
Kraitchik 给出了 257 个奇数边小于 100 万的长方体（Guy 1994，p.174）。F. Helenius 编制了一份 5003 块最小（按最长边测量）欧拉砖的清单。前几个是 (240, 117, 44), (275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), (792, 231, 160), ... (OEIS A031173、A031174和A031175）。
18 世纪对这个问题的兴趣很高，Saunderson (1740) 发现了一个参数解总是给出欧拉砖（但不是给出所有可能的欧拉砖），而在 1770 年和 1772 年，欧拉至少找到了两个参数解。Saunderson 的解设(a’,b’,c’) 是一个毕达哥拉斯三元组，然后
(a,b,c)=[a’*(4b’^2-c’^2),b’*(4a’^2-c’^2],4a’b’c’]
及面对角线的欧拉砖
Dab=c’^3
Dac=a’*(4b’^2+c’^2)
Dbc=b’*(4a’^2+c’^2)
（Saunderson 1740；Dickson 2005，第 497 页）。

ysr · 发表于 2023-2-12 12:37

yangchuanju 发表于 2023-2-12 04:32
据网页https://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html资料有
欧拉砖
图片复制不下来，故忽略。

谢谢朋友关心和指导！差一根线段不是整数的长方体有很多，可以是无穷多的。
体对角线是整数的长方体也是无穷多的。
比如：
有15组/227648265625=477125^2=17582760000+94941015625+115124490000=132600^2+308125^2+339300^2
/227648265625=477125^2=17582760000+115124490000+94941015625=132600^2+339300^2+308125^2
/280566199225=529685^2=50317219225+115124490000+115124490000=224315^2+339300^2+339300^2
/378920269225=615565^2=50317219225+154213290000+174389760000=224315^2+392700^2+417600^2
/378920269225=615565^2=50317219225+174389760000+154213290000=224315^2+417600^2+392700^2
/227648265625=477125^2=94941015625+17582760000+115124490000=308125^2+132600^2+339300^2
/227648265625=477125^2=94941015625+115124490000+17582760000=308125^2+339300^2+132600^2
/227648265625=477125^2=115124490000+17582760000+94941015625=339300^2+132600^2+308125^2
/280566199225=529685^2=115124490000+50317219225+115124490000=339300^2+224315^2+339300^2
/227648265625=477125^2=115124490000+94941015625+17582760000=339300^2+308125^2+132600^2
/280566199225=529685^2=115124490000+115124490000+50317219225=339300^2+339300^2+224315^2
/378920269225=615565^2=154213290000+50317219225+174389760000=392700^2+224315^2+417600^2
/378920269225=615565^2=154213290000+174389760000+50317219225=392700^2+417600^2+224315^2
/378920269225=615565^2=174389760000+50317219225+154213290000=417600^2+224315^2+392700^2
/378920269225=615565^2=174389760000+154213290000+50317219225=417600^2+392700^2+224315^2
/平方数5219^2的拆分解有:1组/5219^2=2456^2+4605^2

yangchuanju · 发表于 2023-2-12 12:42

A031173 A031174 A031175
欧拉砖长宽高
1 240 1 117 1 44
2 275 2 252 2 240
3 693 3 480 3 140
4 720 4 132 4 85
5 792 5 231 5 160
6 1155 6 1100 6 1008
7 1584 7 1020 7 187
8 2340 8 880 8 429
9 2640 9 855 9 832
10 2992 10 2475 10 780
11 3120 11 2035 11 828
12 5984 12 2295 12 1560
13 6325 13 5796 13 528
14 6336 14 748 14 195
15 6688 15 6300 15 1155
16 6732 16 4576 16 1755
17 8160 17 4888 17 495
18 9120 18 1672 18 1575
19 9405 19 9152 19 2964
20 10725 20 9828 20 7840
21 11220 21 3536 21 2925
22 12075 22 1100 22 1008
23 13860 23 4901 23 4368
24 14560 24 1881 24 1080
25 16800 25 11753 25 10296
26 17472 26 8820 26 7579
27 17748 27 10560 27 8789
28 18560 28 16929 28 6072
29 19305 29 15400 29 14112
30 21476 30 14160 30 5643
31 23760 31 18368 31 4599
32 23760 32 17157 32 4900
33 24684 33 24080 33 6435
34 25704 34 17472 34 935
35 26649 35 15232 35 7920
36 29920 36 23751 36 7800
37 30780 37 10725 37 4928
38 35321 38 13728 38 7560
39 35604 39 35075 39 23760
40 35904 40 9360 40 1105
41 37100 41 15840 41 2163
42 38475 42 6160 42 2964
43 38571 43 25740 43 21328
44 39195 44 16016 44 1188
45 46512 45 41580 45 5491
46 48720 46 18460 46 15939
47 51324 47 51205 47 36432
48 51480 48 24225 48 22304
49 53196 49 23600 49 9405
50 57275 50 36960 50 8532
51 59040 51 54280 51 42471
52 61845 52 31372 52 9504
53 62160 53 42372 53 27755
54 62205 54 55440 54 19604
55 65472 55 44080 55 2079
56 67575 56 33120 56 23936
57 70752 57 30636 57 24035
58 76076 58 43680 58 5643
59 79040 59 54288 59 35409
60 83475 60 29568 60 14500
61 83520 61 69513 61 41360
62 85800 62 51129 62 30080
63 85932 63 16320 63 7885
64 90576 64 71060 64 18525
65 98549 65 62832 65 16380
66 105820 66 43056 66 28083
67 107712 67 84840 67 47975
68 109340 68 83952 68 52611
69 121940 69 9045 69 3696
70 137904 70 100100 70 30195
71 138516 71 69355 71 28512
72 141120 72 121264 72 61215
73 141284 73 77805 73 30240
74 141680 74 110979 74 68172
75 144832 75 23760 75 4599
76 148005 76 122636 76 81840
77 151525 77 56640 77 22572
78 156032 78 90480 78 29601
79 156519 79 106392 79 47200
80 157248 80 8415 80 5720
81 165528 81 154671 81 58400
82 166320 82 21964 82 19635
83 176176 83 50880 83 26775
84 176800 84 122760 84 111159
85 177177 85 47736 85 38080
86 179333 86 109140 86 25344
87 194220 87 161040 87 117469
88 200583 88 61560 88 9856
89 206448 89 72611 89 9180
90 207900 90 100035 90 16016
91 209440 91 166257 91 100776
92 211200 92 200385 92 169312
93 214305 93 122760 93 46816
94 220400 94 95004 94 10395
95 227799 95 181720 95 48960
96 237120 96 154660 96 106227
97 241072 97 134805 97 118404
98 245440 98 188859 98 97812
99 247940 99 128205 99 28704
100 252000 100 190405 100 102828
101 262080 101 201663 101 186416
102 264404 102 100320 102 17325
103 267120 103 148148 103 14715
104 272580 104 167440 104 131157
105 273581 105 95040 105 25908
106 274275 106 198220 106 97152
107 277160 107 66495 107 53856
108 281808 108 103075 108 28644
109 289800 109 212160 109 108031
110 290444 110 36720 110 12915
111 293040 111 223104 111 209825
112 293832 112 112320 112 19175
113 299145 113 66976 113 34632
114 301645 114 204336 114 201300
115 302176 115 52185 115 19800
116 305877 116 147600 116 135700
117 308880 117 17792 117 15225
118 313472 118 146160 118 66495
119 315180 119 240240 119 42653
120 316635 120 204516 120 120320
121 323323 121 300900 121 112320
122 327360 122 63364 122 10395
123 332112 123 86580 123 67925
124 332384 124 33660 124 20163
125 339552 125 169600 125 32175
126 353760 126 63063 126 5320
127 358512 127 62900 127 34965
128 360360 128 169575 128 49088
129 361665 129 116928 129 57904
130 362080 130 59400 130 33201
131 362848 131 145464 131 62415
132 364320 132 54784 132 54087
133 369984 133 287287 133 216720
134 375232 134 219600 134 160185
135 376363 135 205920 135 96900
136 378000 136 279744 136 217217
137 379008 137 350020 137 331485
138 394196 138 102765 138 65520
139 402696 139 209385 139 119680
140 404700 140 363440 140 144837
141 406315 141 134064 141 34452
142 408096 142 330372 142 115115
143 414869 143 327600 143 294492
144 421344 144 222200 144 206625
145 422300 145 332469 145 314160
146 425568 146 412920 146 61975
147 427200 147 49896 147 32375
148 429520 148 171171 148 112860
149 432960 149 108405 149 83804
150 434304 150 224025 150 215072
151 446600 151 103095 151 66528
152 450225 152 163680 152 5368
153 450360 153 255200 153 117711
154 455532 154 149600 154 118755
155 457840 155 237120 155 182457
156 462825 156 130152 156 109600
157 467016 157 200385 157 169312
158 469395 158 413364 158 75152
159 474145 159 143640 159 72864
160 480480 160 274527 160 7336
161 486875 161 250800 161 108108
162 495349 162 215760 162 180180
163 500175 163 229824 163 80080
164 503685 164 343476 164 102080
165 511980 165 326128 165 72765
166 518661 166 271040 166 230100
167 526680 167 274911 167 157760
168 533052 168 495264 168 168245
169 536877 169 452100 169 127136
170 536900 170 141075 170 129888
171 539847 171 63296 171 42240
172 544544 172 431460 172 218595
173 550116 173 371280 173 272987
174 556160 174 187488 174 84609
175 556320 175 164164 175 96075
176 564311 176 459360 176 128520
177 570505 177 411840 177 164808
178 573040 178 62700 178 27027
179 587100 179 163152 179 59675
180 599748 180 566720 180 69165
181 600357 181 570960 181 153076
182 609620 182 524349 182 273840
183 611325 183 562848 183 264860
184 616605 184 134064 184 70700
185 627628 185 508635 185 497904
186 638685 186 102256 186 86508
187 643720 187 157248 187 8415
188 644688 188 631125 188 209300
189 645696 189 326895 189 211640
190 645975 190 256360 190 230112
191 653200 191 460845 191 233772
192 654720 192 295460 192 99603
193 657041 193 465120 193 251160
194 673475 194 99360 194 77268
195 684400 195 272745 195 101952
196 691008 196 477369 196 263120
197 691708 197 199056 197 100125
198 712725 198 643104 198 102340
199 713952 199 560120 199 242535
200 729144 200 300608 200 58425
201 732480 201 574425 201 134288
202 746592 202 694260 202 366125
203 748880 203 225492 203 118035
204 750295 204 308448 204 154440
205 752284 205 301587 205 156960
206 753984 206 426360 206 335825
207 761904 207 684372 207 219965
208 767052 208 615195 208 322400
209 769360 209 306603 209 77004
210 770880 210 325008 210 213785
211 791120 211 201285 211 95004
212 799389 212 452980 212 351648
213 806949 213 437360 213 284700
214 807675 214 401212 214 252000
215 811965 215 272844 215 181792
216 820820 216 302064 216 60885
217 833745 217 504648 217 492800
218 839520 218 810568 218 85425
219 839575 219 272832 219 216720
220 845020 220 361200 220 151803
221 848160 221 625053 221 277300
222 850080 222 22473 222 20864
223 851499 223 799920 223 580060
224 859815 224 313896 224 68672
225 880992 225 641355 225 509860
226 892620 226 442035 226 142912
227 900592 227 240669 227 234780
228 914048 228 526311 228 245520
229 918099 229 265980 229 118000
230 933075 230 837540 230 332384
231 935715 231 380380 231 80496
232 937860 232 568480 232 451269
233 942480 233 593676 233 157157
234 946608 234 835380 234 617419
235 948948 235 430355 235 134640
236 950300 236 857472 236 296829
237 968253 237 430996 237 328320
238 970596 238 277200 238 200165
239 970783 239 542400 239 66456
240 979440 240 613795 240 471276
241 983680 241 321816 241 186615
242 996740 242 875472 242 489555
243 1000800 243 461619 243 261580
244 1018875 244 748836 244 744800
245 1019711 245 553320 245 354240
246 1025904 246 556605 246 457028
247 1029600 247 943488 247 908105
248 1041392 248 240900 248 101565
249 1049040 249 992405 249 914628
250 1050192 250 303195 250 66700
251 1050960 251 343827 251 149500
252 1073995 252 869856 252 208692
253 1095633 253 506456 253 390720
254 1096480 254 117117 254 85956
255 1110675 255 269072 255 180180
256 1110720 256 689481 256 146960
257 1128524 257 570843 257 234960
258 1131020 258 209328 258 100485
259 1146845 259 576972 259 425040
260 1165104 260 315172 260 221805
261 1175300 261 1029600 261 720291
262 1175328 262 576375 262 204160
263 1178931 263 654192 263 525460
264 1190160 264 426880 264 389367
265 1198925 265 669120 265 282348
266 1227600 266 481740 266 119669
267 1227600 267 1163085 267 905324
268 1244484 268 269280 268 37835
269 1244760 269 865305 269 83776
270 1276704 270 191620 270 185925
271 1277980 271 210672 271 46371
272 1280916 272 1067605 272 116688
273 1283100 273 1153427 273 910800
274 1308944 274 263835 274 97092
275 1309176 275 1107743 275 1071840
276 1329328 276 759360 276 561105
277 1339464 277 853655 277 812448
278 1343320 278 667575 278 390816
279 1356075 279 1306396 279 459360
280 1374891 280 720720 280 422812
281 1392075 281 1330560 281 249964
282 1399200 282 191065 282 81576
283 1427415 283 312280 283 41184
284 1451120 284 806652 284 141525
285 1475760 285 774180 285 260107
286 1490020 286 934800 286 354123
287 1491903 287 1316480 287 801360
288 1492920 288 237575 288 214368
289 1550736 289 483840 289 331177
290 1565200 290 1239315 290 759924
291 1570016 291 603075 291 84420
292 1589060 292 1307859 292 619920
293 1591744 293 737880 293 137025
294 1600435 294 211068 294 46176
295 1601145 295 1383360 295 662704
296 1608880 296 485316 296 352275
297 1621477 297 789264 297 664020
298 1622304 298 1498380 298 153725
299 1623888 299 773300 299 191709
300 1645699 300 1407120 300 933660

ysr · 发表于 2023-2-12 13:11

欧拉砖——缺一条整数空间对角线，无穷多；另缺一条整数面对角线的，或缺一条整数边的都是无穷大。发表于 2023-2-12 04:55 回复您的点评：

谢谢指导！我就是找到许多这样的长方体，调整好了一条，另一条线段就不对了，总是至少会有一条不是整数，棱长全是10^10以上的，则算的费劲，仅仅算了大约10000个，没有解，没有出来7条线段都是整数的

yangchuanju · 发表于 2023-2-13 11:41

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-13 17:54 编辑

ysr 发表于 2023-2-12 13:11
欧拉砖——缺一条整数空间对角线，无穷多；另缺一条整数面对角线的，或缺一条整数边的都是无穷大。发表于 ...

完美立方体可能不存在，因为在10^10以内没有找到3边+3面对角线+1体对角线都是整数的立方体，但也无人给出证明它确实不存在。
缺一条体对角线的立方体无穷多，就是欧拉砖，从网上可以找到3556组欧拉砖数据；
缺一条边或缺一条面对角线的立方体也应该大量存在，但网页https://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html
仅给出这样的数值各一组，见2楼贴。

王老师（ysr）已经计算出了大量的缺3条面对角线的立方体数据，其中有没有只缺一条面对角线的立方体呢？有兴趣从中找一找吗？
还有王老师有兴趣找一找只缺一条整数边的立方体吗？

yangchuanju · 发表于 2023-2-13 11:46

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-13 11:52 编辑

Treenewbee公式：
(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=(a^2+b^2-c^2-d^2) ^2+4(ac+bd) ^2+4(ad-bc) ^2
应该就是缺三条面对角线的数据吧！

yangchuanju · 发表于 2023-2-13 12:52

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-15 07:06 编辑

(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4(ac+bd)^2+4(ad-bc)^2
(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2+2a^2*c^2+2a^2*d^2+2b^2*c^2+2b^2*d^2+2c^2*d^2
(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2-2a^2*c^2-2a^2*d^2-2b^2*c^2-2b^2*d^2+2c^2*d^2
4(ac+bd)^2+4(ad-bc)^2=4*a^2*c^2+4*b^2*d^2+4*a^2*d^2+4*b^2*c^2 （加减8abcd项抵消）
右三项相加等于左项。
右后两项最终是4个平方数之和，一般不会是一个完全平方数，该面对角线不是整数。

(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4(ac+bd)^2
=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2-2a^2*c^2-2a^2*d^2-2b^2*c^2-2b^2*d^2+2c^2*d^2
+4*a^2*c^2+4*b^2*d^2+8abcd
=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2+2a^2*c^2-2a^2*d^2-2b^2*c^2+2b^2*d^2+2c^2*d^2+8abcd

(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4(ad-bc)^2
=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2-2a^2*c^2-2a^2*d^2-2b^2*c^2-2b^2*d^2+2c^2*d^2
+4*a^2*d^2+4*b^2*c^2-8abcd
=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2-2a^2*c^2+2a^2*d^2+2b^2*c^2-2b^2*d^2+2c^2*d^2-8abcd
右12项、13项和中各含一个8abcd项，一般也不会是平方数。

yangchuanju · 发表于 2023-2-13 12:52

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-15 07:40 编辑

Saunderson 的解设(a’,b’,c’) 是一个毕达哥拉斯三元组，然后
(a,b,c)=[a’*(4b’^2-c’^2),  b’*(4a’^2-c’^2],  4a’b’c’]
及面对角线的欧拉砖
Dab=c’^3
Dac=a’*(4b’^2+c’^2)
Dbc=b’*(4a’^2+c’^2)

令a’,b’,c’=3,4,5则
A=3*(4*4^2-5^2)=117,  B=4*(4*3^2-5^2)=44,  C=4*3*4*5=240
Dab=c’^3=5^3=125,  Dac=3*(4*4^2+5^2)=3*89=267,  Dbc=4*(4*3^2+5^2)=4*61=244
Dabc=(13689+1936+57600)^0.5=73225^0.5=270.60118

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