设三角形 ABC 的内切圆半径 r 与 ∠A 都是定值，求此三角形的形状，使它的周长最小

kezhulu

設三角形ABC的內切圓半徑r與角A都是定值，試確定這是什麼樣的三角形有最小的周長。
思考良久..毫無頭緒...

波斯猫猫

题：設三角形ABC的內切圓半徑r與角A都是定值，試確定這是什麼樣的三角形有最小的周長。

思路（B=C时有最小的周長）：设与A，B，C相邻的切线段長分别为a，b，c。

由条件，显然a=rcot(A/2)，是常数。要使周長2(a+b+c)最小，即使b+c最小。

显然，b+c=ksinA，a+c=ksinB，b+a=ksinC，

故，b+c=2asinA/(sinB+sinC-sinA)=2asinA/{2cos(A/2)cos[(B-C)/2]-sinA}

≥2asinA/[2cos(A/2)-sinA]  (当且仅当B=C时，等号成立)。

kezhulu

感謝樓上的解答，我研究一下

luyuanhong

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