奖品在 1~10 号盒子的某一个中，用枚举法逐个猜测，求猜到奖品所需的次数的平均值

wufaxian

《概率论导论》p142 19题


疑问，按说枚举法，随着排除掉的盒子越来越多，猜中的概率应该越来越大才对！而不应该恒定为1/10。但是答案中计算期望值时却用恒定的概率1/10。是不是错了？

题目：

10个盒子中的某一个放有奖品.为确定起见, 将这10个盒子编上号, 由1号到10 号.用问问题和回答问题的方法可以逐步将奖品所在的位置确定下来.下面是两种问问题的方法: (a) 枚举法. 用这样的问题问:“奖品是不是在盒子 k 中?”


答案：
解(a) 不妨设问题是这样问的:第 i 个问题是“奖品是不是在盒子 i 中?”,而奖品是以1/10的概率在盒子 i 中. 故问 i 个问题才猜中奖品的概率为1/10. 这样平均猜中奖品的次数为


枚举法猜盒子概率是恒定的么？

luyuanhong

题  奖品在 1~10 号盒子的某一个中，用枚举法逐个猜测，求猜到奖品所需猜测次数的平均值。

解  本题要求的是“猜到奖品所需猜测次数的平均值”，因为是用枚举法逐个猜测，猜到奖品

所需的猜测次数，可以是 1 次，2 次，… ，10 次。 当奖品在第 i 个盒子里时，就需要猜测 i 次。

由于奖品是随机放置的，所以奖品在每一个盒子的概率都是 1/10 ，也就是说，对 i=1,2,…,10 ,

不管 i 是几，奖品在第 i 个盒子的概率都是 1/10 ，猜到奖品所需的猜测次数恰好等于 i 的概率

也都是 1/10 。

    所以，猜到奖品所需猜测次数的平均值就是

1×1/10+2×1/10+3×1/10+4×1/10+5×1/10+6×1/10+7×1/10+8×1/10+9×1/10+10×1/10

                  = (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10 = 55/10 =5.5 。