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本帖最后由 朱明君 于 2023-3-19 13:33 编辑
朱火华勾股数组通解公式
设(x2)2=mn,其中x为≥4的偶数,且m>n, mn均为正整数,
x<(m−n), x为勾=a,m−n为股=b, m+n为弦=c,
x>(m−n), x为股=b, m−n为勾=a, m+n为弦=c,
则a2+b2=c2
这个公式是我研究出来的,解决了古今中外数学家勾股不分,ab不分的问题,
勾股定理的定义是短边为勾,长边为股,斜边为弦。
设(x/2)2=mn,其中x为大于等于4的偶数,且m﹥n,mn均为正整数,
则x2+(m−n)2=(m+n)2
设x=mn,其中x为大于等于3的奇数,且m>n,mn均为正整数,
则x2十[(m2−n2)/2]2=[(m2+n2)/2]2
设x=m+n,其中x为大于等于2的正整数,且mn均为正整数,
则[m(x+n)]2+(2xn)2=(x2+n2)2
设x=m+n,其中x为大于等于3的正整数,且m>n,mn均为正整数,
则[x(m−n)]2+(2mn)2=(m2+n2)2
1,设(x/2)2=mn,其中x为≥4的偶数,
则x2+(m−n)2=(m+n)2
若mn一奇一偶没有大于1的公倍数,
则x2+(m−n)2=(m+n)2为勾股数本原解数组。
计算n的方法,是由分解(x/2)2得到,
(x/2)2=1×Fn11×Fn22×⋯×Fnnn, 其中F为质因数,
取这些因数重组小于(x/2)的数积为n。(x/2)2/n=m。
详解:根据(x/2)2=1×Fn11×Fn22×⋯×Fnnn,首先计算出1和全部质因数各自从
1到n次方的积数,去掉大于等于(x/2)的积数后重组,(同底数的数不能重组)
再去掉大于等于(x/2)的积数,余下的数为n。
实例:计算x=60的全部勾股数,
(60/2)2=900=1×22×32×52,
11=1, 21=2, 31=3, 51=5,
22=4, 32=9, 52=25,
2×3=6, 2×5=10, 3×4=12, 3×5=15, 2×9=18, 4×5=20,
即n小于30的数有1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,25。(13个)
根据公式(X/2)2/n=m。
所以
n=1,m=900。n=2,m=450。n=3,m=300。n=4,m=225。
n=5,m=180。n=6,m=150。n=9,m=100。n=10,m=90。
n=12,m=75。n=15,m=60。n=18,m=50。n=20,m=45。
n=25,m=36。
代入公式得:
602+(900−1)2=(900+1)2(本原解)
602+(450−2)2=(450+2)2
602+(300−3)2=(300+3)2
602+(225−4)2=(225+4)2(本原解)
602+(180−5)2=(180+5)2
602+(150−6)2=(150+6)2
602+(100−9)2=(100+9)2(本原解)
602+(90−10)2=(90+10)2
602+(75−12)2=(75+12)2
602+(60−15)2=(60+15)2
602+(50−18)2=(50+18)2
602+(45−20)2=(45+20)2
602+(36−25)2=(36+25)2(本原解)
实例:
(x/2)2=mn,代入公式得(勾,股,弦)
(4/2)2=4×1,(3,4,5)(本原解)
(6/2)2=9×1,(8,6,10)(本原解)
(8/2)2=16×1,(15,8,17)(本原解)
(8/2)2=8×2,(6,8,10)
(10/2)2=25×1,(24,10,26)(本原解)
(12/2)2=36×1,(35,12,37)(本原解)
(12/2)2=18×2,(16,12,20)
(12/2)2=12×3,(9,12,15)
(12/2)2=9×4,(5,12,13)(本原解)
(14/2)2=49×1,(48,14,50)
⋯⋯。
2,设x2=mn,(其中X为≥3的奇数),且m>n, m,n均为正整数,
则x2+[(m−n)/2]2=[(m+n)/2]2。
若mn没有大于1的公约数,
则x2+[(m−n)/2]2=[(m+n)/2]2为勾股数本愿解数组。
计算n的方法,是由分解X2得到,
X2=1×Fn11×Fn22×⋯×Fnnn,(其中F为质因数)
取这些因数重组小于X的数积为n,(X2)/n=m。
详解:根据X2=1×Fn11×Fn22×⋯×Fnnn,首先计算出1和全部质因数各自从1到n次方的积数,
去掉大于等于X的积数后重组,(同底数的数不能重组)再去掉大于等于X的积数,余下的数为n。
实例:计算X=15时全部勾股数
X=15, 152=1×32×52,
11=1, 31=3, 51=5,
32=9, 52=25,
即n小于15的数有1,3,5,9。(4个)
根据公式X2/n=m。
所以n=1, m=225。n=3,m=75。n=5,m=45。n=9,m=25。
代入公式得:
152+[(225−1)/2]2=[(225+1)/2]2(本原解)
152+[(75−3)/2]2=(75+3)/2]2
152+[(45−5)/2]2=[(45+5)/2]2
152+[(25−9)/2]2=[(25+9)/2]2(本原解)
实例:
x2=mn,代入公式得(勾,股,弦)
32=9×1,(3,4,5)(本原解)
52=25×1,(5,12,13)(本原解)
72=49×1,(7,24,25)(本原解)
92=81×1,(9,40,42)(本原解)
92=27×3,(9,12,15)
112=121×1,(11,60,61)(本原解)
132=169×1,(13,84,85)(本原解)
152=225×1,(15,112,113)(本原解)
152=75×3,(15,36,39)
152=45×5,(15,20,25)
152=25×9,(15,8,17)(本原解)
⋯⋯。
3,X为勾全部解的解数公式
计算全部解的解数方法,是由分解X质因数中的指数得到,与底数无关。
X=Fn11×Fn22×⋯×Fnnn,(其中X为≥3的正整数,F为质因数,n为指数)
设X为勾全部解的解数为L,指数的对应数为2n+1。
则X(奇数),L=[(2n1+1)(2n2+1)…(2nn+1)−1]/2
则X(偶数),L=[(2n1+1−2)(2n2+1)…(2nn+1)−1]/2
实例X=15, 15=31×51,
代入公式得[(2×1+1)×(2×1+1)−1]/2=4组。
实例:X=60, 60=22×31×51,
代入公式得[(2×2+1−2)×(2×1+1)×(2×1+1)−1]/2=13组,
4,设x=m+n,其中x为≥2的正整数,且mn均为正整数,
则[m(x+n)]2+(2xn)2=(x2+n2)2,
若(x+n)是奇数,且与m互质,
则[m(x+n)]2+(2xn)2=(x2+n2)2为勾股数本原解数组。
实例:
x=m+n,代入公式得(勾,股,弦)
2=1+1,(3,4,5)(本原解)
3=1+2,(5,12,13)(本原解)
3=2+1,(8,6,10)
4=1+3,(7,24,25)(本原解)
4=2+2,(12,16,20)
4=3+1,(15,8,17)(本原解)
5=1+4,(9,40,41)(本原解)
5=2+3,(16,30,34)
5=3+2,(21,20,29)(本原解)
5=4+1,(24,10,26)
6=1+5,(11,60,61)(本原解)
6=2+4,(20,48,52)
6=3+3,(27,36,45)
6=4+2,(32,24,40)
6=5+1,(35,12,37)(本原解)
⋯⋯。
5,设x=m+n,其中x为大于等于3的正整数,且m<n<x,xmn均为正整数,
则[x(n−m)]2+(2mn)2=(m2+n2)2
若x是奇数,且m与n互质,
则[x(n−m)]2+(2mn)2=(m2+n2)2为勾股数本原解数组。
实例:
x=m+n,代入公式得(勾,股,弦)
3=1+2,(3,4,5)(本原解)
4=1+3,(8,6,10)
5=1+4,(15,8,17)(本原解)
5=2+3,(5,12,13)(本原解)
6=1+5,(24,10,26)
6=2+4,(12,16,20)
7=1+6,(35,12,37)(本原解)
7=2+5,(21,20,29)(本原解)
7=3+4,(7,24,25)(本原解)
8=1+7,(48,14,50)
8=2+6,(32,24,40)
8=3+5,(16,30,34)
⋯⋯。
6,连续平方和趣题:
求出n+1个连续平方数之和等于n个连续平方数之和的通解公式。
32+42=52
102+112+122=132+142
212+222+232+242=252+262+272
362+372+382+392+402=412+422+432+442
⋯⋯。
左边n+1个连续平方数之和=右边n个连续平方数之和,其通解公式如下:
左右共有2n+1个连续正整数,第1个正整数是n(2n+1),
最后1个正整数是n(2n+3),中间数是n(2n+1)+n。
左边第1个正整数是n(2n+1),最后1个正整数是n(2n+1)+n,
右边第1个正整数是n(2n+1)+n+1,最后1个正整数是n(2n+3)。
设n为大于等于1的正整数,x为连续正整数中的第n个正整数,且x小于等于(2n+1),
则n(2n+1)+(x−1)=z。
7,设x=(a+b+…+n)为大于等于3的奇数,
(a2+b2+⋯+n2)为y,其中abn均为正整数,
则a2+b2+⋯+n2+{(x2−1)2−(x2−y)2}2={(x2+1)2−(x2−y)2}2
实例:x=5, 52+122=132,
5=1+1+1+1+1,代入公式得12+12+12+12+12+22=32,
5=1+1+1+2,代入公式得12+12+12+22+32=42,
5=1+1+3,代入公式得12+12+32+52=62,
5=1+2+2,代入公式得12+22+22+42=52,
5=1+4,代入公式得12+42+82=92,
5=2+3,代入公式得22+32+62=72,
简化公式:
设(a2+b2+⋯+n2)=x,其中(a+b+⋯+n)为大于等于3的奇数,且abnx均为正整数,
则a2+b2+⋯+n2+{(x−1)2}2={(x+1)2}2
8,设x为任意正整数,
则x2+(x+1)2+[x(x+1)]2=[x(x+1)+1]2。
x=1,代入公式得,12+22+22=32,
x=2,代入公式得,22+32+62=72,
x=3,代入公式得,32+42+122=132,
x=4,代入公式得,42+52+202=212
⋯⋯。
9,设x为大于等于2的正整数,n为任意正整数,x又为公式中的前项个数,
则xn+xn+⋯+xn=x(n+1)), 简化公式:x(xn)=x(n+1)
x=2, 2n+2n=2(n+1),,
x=3, 3n+3n+3n=3(n+1),
x=4, 4n+4n+4n+4n=4(n+1),,
⋯⋯。
10,巳知2的n次方的n为大于等于1的正整数,
求满足方程(3x+1)/2n=Z的所有x和Z的奇数解。
①,当n是奇数时,
x(奇数)=2(n+1)×N+2n+{[2(n+1)−1]/3}
z(奇数)=6N+5,
其中N为≥0的整数。
②,当n是偶数时,
x(奇数)=2(n+1)×N+[(2n−1)/3],
z(奇数)=6N+1,
其中n为正整数,N为≥0的整数。
11,求不定方程x2+yn=z2的正整数解
设[y(n−1)−y]/2=x,[y(n−1)+y]/2=z,
其中y为大于等于2的正整数,n为大于等于4的正整数,
则x2+yn=z2,
12,兔子数列中的勾股数
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,⋯⋯。
①,设兔子数列中的任意四个连续的兔子数:
第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d,
则(ad)2+(2bc)2=(b2+c2)2
②,设兔子数列中的任意3个连续的兔子数,
第1个为a,笫2个为b,第3个为c,
则[a(b+c)]2+(2bc)2=(b2+c2)2,
13,设x=ab,y=ac,z=bc,(其中a为勾,b为股,c为弦)
则(xy)2十(xz)2=(yz)2,
14,设x=b+2(a+c),y=a+2(b+c),z=c+2(a+b+c),其中a为勾,b为股,c为弦,
则x2+y2=z2,
15,设x为任意正整数,则x2+(2x)2+(2x)2=(x+2x)2,
16,设n为大于等于2的正整数
则[(2n−1)n]n−2+[(2n−1)n−1]n−1=[2×(2n−1)n−2]n
实例:
17,设xn均为任意正整数,(2n)x=(2x)n,2×(2n)x=2nx+1,
则(2n)x十(2n)x=2(nx十1)
则(2x)n十(2x)n=2(nx十1)
则(2n)x十(2x)n=2(nx十1)
18,设an+bn=z, az=x, bz=y,
其中abn均为任意正整数,
则xn+yn=zn+1,
19,设a=b=2, c=2(n+1)÷2, 其中n为任意奇数,则an+bn=c2,
实例:
21十21=22,
23十23=42,
25十25=82,
27十27=162,
......。
20,设m(m+1)=x,其中m为任意正整数,则(√4x+1)2=[m+(m+1)]2,
21,设n为大于等于0的整数,则(2n)n+2+(2n)n+2=(2×(2n))n+1
实例
n=0, 代入公式得,12+12=21,
n=1, 代入公式得,23+23=42,
n=2, 代入公式得,44+44=83,
n=3, 代入公式得,85+85=164,
n=4, 代入公式得,166+166=325,
⋯⋯
22,
项数, n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,....
兔子数,F=0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,35,....
设a为大于等于2的正整数,n为大于等于3的正整数,其中每个n项的数都对应着1个兔子数,
其中n1为大于等于3的正整数,则偶数项的对应兔子数是该(偶数+1)的对应兔子数,
其中n2为大于等于2的正整数,则奇数项的对应兔子数是该(奇数+1)的对应兔子数,
其中n3为大于等于1的正整数,则偶数项的对应兔子数是该(偶数+1)的对应兔子数,
则((an−1)n1)n−2+((an−1)n2−1)n−1=(a(an−1)n3−2)n
注:在实际操作运算中,我们要将公式中的n(项数)换成对应的兔子数。
实例:
23,设a=b=2n,c=2(2n),其中n为≥0的整数,则abc(a+b+c)=2n2,
24,设n为大于等于2的正整数,则(2n)n一2十(2n一2)n=(2n一1)n一1
25,数例,1,2,2,3,4,4,5,6,6,7,8,8...。
设:n3=x(取整数),其中n为大于等于3的正整数,
则a(n)=n−x,
26,求满足方程x3+3xy+n=y3的所有整数解
设y为≥3的正整数,x=y-2,n=3xy+8,则x3+3xy+n=y3
27,设(m2+n2)=C,其中m>n,且mnC均为正整数,
则{C(m2−n2)}2+(2mnC)2=C4,
28,设a为勾,b为股,C为弦,其中a<b<C,
则(b2−a2)2+(2ab)2=C4,
则(aC)2+(bC)2=(CC)2=C4,
29,设a为大于等于3的正整数,n为大于等于2的正整数,则
((an−5)4n)n−1+((an−5)2n)2n−2+((an−5)2n−1)2n−1+((an−5)2n−2)2n+
\left( \left( a^n-5\right)^n\right)^{4n-4}+\left( \left( a^n-5\right)^{n-1}\right)^{4n}=\left( a\left( a^n-5\right)^{4n-4}\right)^n
实例
30,设n为大于等于2的正整数,则
\left( 4^{\left( n+1\right)\times\left( n+2\right)\times n}\right)^{n-1}+\left( 4^{\left( n+1\right)\times\left( n+2\right)\times\left( n-1\right)}\right)^n+
\left( 4^{\left( n\times\left( n+1\right)\times\left( n-1\right)+\left( n\times\left( n-1\right)\right)\right)}\right)^{n+1}+\left(
4^{\left( n\times\left( n+1\right)\times\left( n-1\right)\right)}\right)^{n+2}=\left( 4^{\left( n\times\left( n+1\right)-1\right)}\right)^{\left( n\times\left( n+1\right)-1\right)}
实例
31,设n为≥1的正整数,则(n+(n+1))^2-(n(n+1))×2^2=1,
设xdy均为正整数,则x^2-d^2y^2=1,无正整数解
32,
33,
求数例3,7,11,17,23,31,39,49…。正整数解的通项公式
设n为大于等于2的正整数,
a\left( n\right)=\frac{n\left( n+1\right)+\left( n-x\right)}{2}{,}其中n为偶数,则x为2{,}\ \ \ \ \ n为奇数,则x为1{,}
求数例7,13,23,33,47,61,79,97…。正整数解的通项公式
设n为大于等于2的正整数,
a(n)=n(n+1)+(n-x), 其中n为偶数,则x为1,其中n为奇数,则x为2,
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