勾股数组研究

朱明君 · 发表于 2023-2-21 21:27

本帖最后由朱明君于 2023-3-19 13:33 编辑

$朱火华勾股数组通解公式$

$设\left( \frac{x}{2}\right)^2=mn{,}其中x为\ge4的偶数，且m>n{,}\ mn均为正整数，$

$x<\left( m-n\right){,}\ x为勾=a，m-n为股=b{,}\ \ m+n为弦=c{,}$

$x>\left( m-n\right){,}\ x为股=b{,}\ \ m-n为勾=a{,}\ \ m+n为弦=c{,}$

$则a^2+b^2=c^2$

$这个公式是我研究出来的，解决了古今中外数学家勾股不分，a b不分的问题，$

$勾股定理的定义是短边为勾，长边为股，斜边为弦。$

$设(x/2)^2=mn，其中x为大于等于4的偶数，且m﹥n，mn均为正整数，$

$则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2$

$设x=mn，其中x为大于等于3的奇数，且m>n，mn均为正整数，$

$则x^2十[(m^2-n^2)/2]^2=[(m^2+n^2)/2]^2$

$设x=m+n，其中x为大于等于2的正整数，且mn均为正整数，$

$则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2$

$设x=m+n，其中x为大于等于3的正整数，且m>n，mn均为正整数，$

$则[x(m-n)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$

$1{,}设(x/2)^2=mn{,}其中x为\ge4的偶数，$

$则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2$

$若m n一奇一偶没有大于1的公倍数$ ，

$则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2为勾股数本原解数组。$

$计算n的方法，是由分解(x/2)^2得到，$

$(x/2)^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}\ 其中F为质因数，$

$取这些因数重组小于(x/2)的数积为n。(x/2)^2/n=m。$

$详解：根据(x/2)^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}首先计算出1和全部质因数各自从$

$1到n次方的积数，去掉大于等于(x/2)的积数后重组，(同底数的数不能重组)$

$再去掉大于等于(x/2)的积数，余下的数为n。$

$实例：计算x=60的全部勾股数，$

$(60/2)^2=900=1\times2^2\times3^2\times5^2{,}$

$1^1=1{,}\ \ 2^1=2{,}\ \ 3^1=3{,}\ \ 5^1=5{,}$

$2^2=4{,}\ \ 3^2=9{,}\ \ 5^2=25{,}$

$2\times3=6{,}\ 2\times5=10{,}\ \ 3\times4=12{,}\ \ 3\times5=15{,}\ \ 2\times9=18{,}\ \ 4\times5=20{,}$

$即n小于30的数有1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，25。(13个)$

$根据公式(X/2)^2/n=m。$

$所以$

$n=1, m=900。 n=2，m=450。 n=3， m=300。 n=4， m=225。$

$n=5， m=180。 n=6，m=150。 n=9， m=100。 n=10，m=90。$

$n=12，m=75。 n=15, m=60。 n=18，m=50。 n=20，m=45。$

$n=25，m=36。$

$代入公式得：$

$60^2+(900-1)^2=(900+1)^2(本原解）$

$60^2+(450-2)^2=(450+2)^2$

$60^2+(300-3)^2=(300+3)^2$

$60^2+(225-4)^2=(225+4)^2(本原解）$

$60^2+(180-5)^2=(180+5)^2$

$60^2+(150-6)^2=(150+6)^2$

$60^2+(100-9)^2=(100+9)^2(本原解）$

$60^2+(90-10)^2=(90+10)^2$

$60^2+(75-12)^2=(75+12)^2$

$60^2+(60-15)^2=(60+15)^2$

$60^2+(50-18)^2=(50+18)^2$

$60^2+(45-20)^2=(45+20)^2$

$60^2+(36-25)^2=(36+25)^2(本原解）$

$实例：$

$(x/2)^2=mn，代入公式得(勾，股，弦)$

$(4/2)^2=4\times1，(3，4，5)(本原解）$

$(6/2)^2=9\times1，(8，6，10)(本原解）$

$(8/2)^2=16\times1，(15，8，17)(本原解）$

$(8/2)^2=8\times2，(6，8，10)$

$(10/2)^2=25\times1，(24，10，26)(本原解）$

$(12/2)^2=36\times1，(35，12，37)(本原解）$

$(12/2)^2=18\times2，(16，12，20)$

$(12/2)^2=12\times3，(9，12，15)$

$(12/2)^2=9\times4，(5，12，13)(本原解）$

$(14/2)^2=49\times1，(48，14，50)$

$\cdots\cdots。$

$2{,}设x^2=mn，(其中X为\ge3的奇数){,}且m>n{,}\ m{,}n均为正整数，$

$则x^2+[(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2。$

$若mn没有大于1的公约数，$

$则x^2+[(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2为勾股数本愿解数组。$

$计算n的方法，是由分解X^2得到，$

$X^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}(其中F为质因数)$

$取这些因数重组小于X的数积为n{,}(X^2)/n=m。$

$详解：根据X^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}，首先计算出1和全部质因数各自从1到n次方的积数，$

$去掉大于等于X的积数后重组，(同底数的数不能重组)再去掉大于等于X的积数，余下的数为n。$

$实例：计算X=15时全部勾股数$

$X=15{,}\ \ 15^2=1\times3^2\times5^2{,}$

$1^1=1{,}\ \ 3^1=3{,}\ \ 5^1=5{,}$

$3^2=9{,}\ \ 5^2=25{,}$

$即n小于15的数有1，3，5，9。(4个)$

$根据公式X^2/n=m。$

$所以n=1{,}\ \ m=225。n=3，m=75。n=5，m=45。n=9，m=25。$

$代入公式得：$

$15^2+[(225-1)/2]^2=[(225+1)/2]^2(本原解）$

$15^2+[(75-3)/2]^2=(75+3)/2]^2$

$15^2+[(45-5)/2]^2=[(45+5)/2]^2$

$15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2(本原解）$

$实例：$

$x^2=mn，代入公式得(勾，股，弦)$

$3^2=9\times1，(3，4，5)(本原解）$

$5^2=25\times1，(5，12，13)(本原解）$

$7^2=49\times1，(7，24，25)(本原解）$

$9^2=81\times1，(9，40，42)(本原解）$

$9^2=27\times3，\left( 9，12，15\right)$

$11^2=121\times1，(11，60，61)(本原解）$

$13^2=169\times1，(13，84，85)(本原解）$

$15^2=225\times1，(15，112，113)(本原解）$

$15^2=75\times3，(15，36，39)$

$15^2=45\times5，(15，20，25)$

$15^2=25\times9，(15，8，17)(本原解）$

$\cdots\cdots。$

$3,X为勾全部解的解数公式$

$计算全部解的解数方法，是由分解X质因数中的指数得到，与底数无关。$

$X=F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}(其中X为\ge3的正整数，F为质因数，n为指数)$

$设X为勾全部解的解数为L,指数的对应数为2n+1。$

$则X(奇数），L=[(2n_1+1)(2n_2+1)\dots(2n_n+1)-1]/2$

$则X(偶数），L=[(2n_1+1-2)(2n_2+1)\dots(2n_n+1)-1]/2$

$实例X=15{,}\ \ 15=3^1\times5^1{,}$

$代入公式得[(2×1+1)×(2×1+1)-1]/2=4组。$

$实例：X=60{,}\ \ 60=2^2\times3^1\times5^1{,}$

$代入公式得 [(2×2+1-2)×(2×1+1)×(2×1+1)-1]/2=13组，$

$4，设x=m+n，其中x为\ge2的正整数，且mn均为正整数，$

$则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2，$

$若(x+n)是奇数，且与m互质，$

$则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2为勾股数本原解数组。$

$实例：$

$x=m+n，代入公式得(勾，股，弦)$

$2=1+1， (3， 4，5) (本原解）$

$3=1+2， (5，12，13) (本原解）$

$3=2+1， (8，6，10)$

$4=1+3， (7，24，25) (本原解）$

$4=2+2， (12，16，20)$

$4=3+1， (15，8，17) (本原解）$

$5=1+4， (9，40，41) (本原解）$

$5=2+3， (16，30，34)$

$5=3+2， (21，20，29) (本原解）$

$5=4+1， (24，10，26)$

$6=1+5， (11，60，61) (本原解）$

$6=2+4， (20，48，52)$

$6=3+3， (27，36，45)$

$6=4+2， (32，24，40)$

$6=5+1， (35，12，37) (本原解）$

$\cdots\cdots。$

$5，设x=m+n，其中x为大于等于3的正整数，且m<n<x, x m n均为正整数，$

$则[x(n-m)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$

$若x是奇数，且m与n互质,$

$则[x(n-m)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2为勾股数本原解数组。$

$实例：$

$x=m+n，代入公式得(勾，股，弦)$

$3=1+2， (3， 4， 5) (本原解）$

$4=1+3， (8，6，10)$

$5=1+4， (15，8，17) (本原解）$

$5=2+3， (5，12，13) (本原解）$

$6=1+5， (24，10，26)$

$6=2+4， (12，16，20)$

$7=1+6， (35，12，37) (本原解）$

$7=2+5， (21，20，29) (本原解）$

$7=3+4， (7，24，25) (本原解）$

$8=1+7， (48，14，50)$

$8=2+6， (32，24，40)$

$8=3+5， (16，30，34)$

$\cdots\cdots。$

$6，连续平方和趣题：$

$求出n+1个连续平方数之和等于n个连续平方数之和的通解公式。$

$3^2+4^2=5^2$

$10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$

$21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2$

$36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2$

$\cdots\cdots。$

$左边n+1个连续平方数之和=右边n个连续平方数之和，其通解公式如下：$

$左右共有2n+1个连续正整数，第1个正整数是n(2n+1),$

$最后1个正整数是n(2n+3),中间数是n(2n+1)+n。$

$左边第1个正整数是n(2n+1)，最后1个正整数是n(2n+1)+n，$

$右边第1个正整数是n(2n+1)+n+1，最后1个正整数是n(2n+3)。$

$设n为大于等于1的正整数，x为连续正整数中的第n个正整数，且x小于等于(2n+1)，$

$则n(2n+1)+(x-1)=z。$

$7，设x=(a+b+…+n)为大于等于3的奇数，$

$(a^2+b^2+\cdots+n^2)为y，其中abn均为正整数，$

$则a^2+b^2+\cdots+n^2+\left\{ \frac{(x^2-1)}{2}-\frac{(x^2-y)}{2}\right\}^2=\left\{ \frac{(x^2+1)}{2}-\frac{(x^2-y)}{2}\right\}^2$

$实例：x=5{,}\ \ \ \ \ 5^2+12^2=13^2{,}$

$5=1+1+1+1+1{,}代入公式得1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+2^2=3^2，$

$5=1+1+1+2{,}代入公式得1^2+1^2+1^2+2^2+3^2=4^2，$

$5=1+1+3{,}代入公式得1^2+1^2+3^2+5^2=6^2，$

$5=1+2+2{,}代入公式得1^2+2^2+2^2+4^2=5^2，$

$5=1+4{,}代入公式得1^2+4^2+8^2=9^2，$

$5=2+3{,}代入公式得2^2+3^2+6^2=7^2，$
简化公式：

$设(a^2+b^2+\cdots+n^2)=x{,}其中(a+b+\cdots+n)为大于等于3的奇数，且abnx均为正整数，$

$则a^2+b^2+\cdots+n^2+\left\{ \frac{(x-1)}{2}\right\}^2=\left\{ \frac{(x+1)}{2}\right\}^2$

$8，设x为任意正整数，$

$则x^2+(x+1)^2+[x(x+1)]^2=[x(x+1)+1]^2。$

$x=1{,}代入公式得，1^2+2^2+2^2=3^2，$

$x=2{,}代入公式得，2^2+3^2+6^2=7^2，$

$x=3{,}代入公式得，3^2+4^2+12^2=13^2，$

$x=4{,}代入公式得，4^2+5^2+20^2=21^2$

$\cdots\cdots。$

$9，设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，$

$则x^n+x^n+\cdots+x^n=x^{(n+1)}){,}\ \ \ \ \ \ \ 简化公式：x(x^n)=x^{(n+1)}$

$x=2，\ \ \ 2^n+2^n=2^{(n+1)，}，$

$x=3，\ \ \ 3^n+3^n+3^n=3^{(n+1)}，$

$x=4，\ \ \ 4^n+4^n+4^n+4^n=4^{(n+1)，}，$

$\cdots\cdots。$

$10,巳知2的n次方的n为大于等于1的正整数，$

$求满足方程(3x+1)/2^n=Z的所有x和Z的奇数解。$

$①，当n是奇数时，$

$x(奇数)=2^{\left( n+1\right)}×N+2^n+\left\{ [2^{\left( n+1\right)}-1]/3\right\}$

$z(奇数)=6N+5，$

$其中N为≥0的整数。$

$②，当n是偶数时，$

$x(奇数)=2^{\left( n+1\right)}\times N+[(2^n-1)/3]，$

$z(奇数)=6N+1，$

$其中n为正整数，N为≥0的整数。$

$11,求不定方程x^2+y^n=z^2的正整数解$

$设[y^{\left( n-1\right)}-y]/2=x，[y^{\left( n-1\right)}+y]/2=z，$

$其中y为大于等于2的正整数，n为大于等于4的正整数，$

$则x^2+y^n=z^2，$

$12,兔子数列中的勾股数$

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,$

$\cdots\cdots。$

$①，设兔子数列中的任意四个连续的兔子数:$

$第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d,$

$则(ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2$

$②，设兔子数列中的任意3个连续的兔子数，$

$第1个为a，笫2个为b，第3个为c，$

$则[a(b+c)]^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2，$

$13,设x=ab，y=ac，z=bc，(其中a为勾，b为股，c为弦)$

$则(xy)^2十(xz)^2=(yz)^2,$

$14,设x=b+2(a+c)，y=a+2(b+c)，z=c+2(a+b+c)，其中a为勾，b为股，c为弦，$

$则x^2+y^2=z^2,$

$15,设x为任意正整数，则x^2+(2x)^2+( 2x)^2=(x+2x)^2，$

$16, 设n为大于等于2的正整数$
则

$\left[ \left( 2^n-1\right)^n\right]^{n-2}+\left[ \left( 2^n-1\right)^{n-1}\right]^{n-1}=\left[ 2\times\left( 2^n-1\right)^{n-2}\right]^n$
实例：

$17,设xn均为任意正整数，$

$\left( 2^n\right)^x=\left( 2^x\right)^n，$

$2\times\left( 2^n\right)^x=2^{nx+1}，$

$则\left( 2^n\right)^x十\left( 2^n\right)^x=2^{\left( nx十1\right)}$

$则\left( 2^x\right)^n十\left( 2^x\right)^n=2^{\left( nx十1\right)}$

$则\left( 2^n\right)^x十\left( 2^x\right)^n=2^{\left( nx十1\right)}$

$18，设a^n+b^n=z{,}\ \ az=x{,}\ \ bz=y{,}$

$其中abn均为任意正整数，$

$则x^n+y^n=z^{n+1}，$

$19{,}设a=b=2{,}\ \ \ c=2^{\left( n+1\right)\div2}{,}\ \ 其中n为任意奇数，则a^n+b^n=c^2,$
实例：

$2^1十2^1=2^2，$

$2^3十2^3=4^2，$

$2^5十2^5=8^2，$

$2^7十2^7=16^2，$

$......。$

$20,设m(m+1)=x{,}其中m为任意正整数，则\left( \sqrt{4x+1}\right)^2=[m+(m+1)]^2{,}$

$21,设n为大于等于0的整数，则\left( 2^n\right)^{n+2}+\left( 2^n\right)^{n+2}=\left( 2\times\left( 2^n\right)\right)^{n+1}$
实例

$n=0{,}\ \ \ 代入公式得，1^2+1^2=2^1{,}$

$n=1{,}\ \ \ 代入公式得，2^3+2^3=4^2{,}$

$n=2{,}\ \ \ 代入公式得，4^4+4^4=8^3{,}$

$n=3{,}\ \ \ 代入公式得，8^5+8^5=16^4{,}$

$n=4{,}\ \ \ 代入公式得，16^6+16^6=32^5{,}$

$\cdots\cdots$

$22，$
项数，

$n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... .$
兔子数，

$F=0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 35, ... .$

$设a为大于等于2的正整数，n为大于等于3的正整数，其中每个n项的数都对应着1个兔子数，$

$其中n_1为大于等于3的正整数{,}则偶数项的对应兔子数是该(偶数+1)的对应兔子数，$

$其中n_2为大于等于2的正整数{,}则奇数项的对应兔子数是该(奇数+1)的对应兔子数，$

$其中n_3为大于等于1的正整数{,}则偶数项的对应兔子数是该(偶数+1)的对应兔子数，$

$则\left( \left( a^n-1\right)^{n_1}\right)^{n-2}+\left( \left( a^n-1\right)^{n_2-1}\right)^{n-1}=\left( a\left( a^n-1\right)^{n_3-2}\right)^n$
注：在实际操作运算中，我们要将公式中的n(项数)换成对应的兔子数。
实例：

$23,设a=b=2^n{,}c=2\left( 2^n\right){,}其中n为\ge0的整数，则abc(a+b+c)=2n^2{,}$

$24,设n为大于等于2的正整数，则\left( 2^n\right)^{n一2}十\left( 2^{n一2}\right)^n=\left( 2^{n一1}\right)^{n一1}$

$25,数例，1，2，2，3，4，4，5，6，6，7，8，8...。$

$设：\frac{n}{3}=x\left( 取整数\right)，其中n为大于等于3的正整数，$

$则a\left( n\right)=n-x，$

$26,求满足方程 x^3+3xy+n=y^3 的所有整数解$

$设y为≥3的正整数,x=y－2, n=3xy+8, 则x^3+3xy+n=y^3$

$27,设\left( m^2+n^2\right)=C，其中m>n，且mnC均为正整数，$

$则\left\{ C\left( m^2-n^2\right)\right\}^2+\left( 2mnC\right)^2=C^4，$

$28,设a为勾，b为股，C为弦，其中a<b<C，$

$则\left( b^2-a^2\right)^2+\left( 2ab\right)^2=C^4，$

$则\left( aC\right)^2+\left( bC\right)^2=\left( CC\right)^2=C^4，$

$29,设a为大于等于3的正整数，n为大于等于2的正整数，$ 则

$\left( \left( a^n-5\right)^{4n}\right)^{n-1}+\left( \left( a^n-5\right)^{2n}\right)^{2n-2}+\left( \left( a^n-5\right)^{2n-1}\right)^{2n-1}+\left( \left( a^n-5\right)^{2n-2}\right)^{2n}+$

$\left( \left( a^n-5\right)^n\right)^{4n-4}+\left( \left( a^n-5\right)^{n-1}\right)^{4n}=\left( a\left( a^n-5\right)^{4n-4}\right)^n$
实例

$30,设n为大于等于2的正整数，则$

$\left( 4^{\left( n+1\right)\times\left( n+2\right)\times n}\right)^{n-1}+\left( 4^{\left( n+1\right)\times\left( n+2\right)\times\left( n-1\right)}\right)^n$

$+$

$\left( 4^{\left( n\times\left( n+1\right)\times\left( n-1\right)+\left( n\times\left( n-1\right)\right)\right)}\right)^{n+1}+\left( 4^{\left( n\times\left( n+1\right)\times\left( n-1\right)\right)}\right)^{n+2}=\left( 4^{\left( n\times\left( n+1\right)-1\right)}\right)^{\left( n\times\left( n+1\right)-1\right)}$
实例

$31,设n为≥1的正整数，则(n+(n+1))^2-(n(n+1))×2^2=1，$

$设xdy均为正整数，则x^2-d^2y^2=1，无正整数解$

$32,$

$33,$

$求数例3，7，11，17，23，31，39，49…。正整数解的通项公式$
设n为大于等于2的正整数，

$a\left( n\right)=\frac{n\left( n+1\right)+\left( n-x\right)}{2}{,}其中n为偶数，则x为2{,}\ \ \ \ \ n为奇数，则x为1{,}$
求数例7，13，23，33，47，61，79，97…。正整数解的通项公式
设n为大于等于2的正整数，

$a(n)=n(n+1)+(n-x), 其中n为偶数，则x为1，其中n为奇数，则x为2，$

王守恩 · 发表于 2023-2-22 17:05

试试，配个通项公式。谢谢！

$\big(4^{024}\big)^{1}+\big(4^{012}\big)^{2}+\big(4^{008}\big)^{03}+\big(4^{006}\big)^{04}=\big(4^{05}\big)^{05}$

$\big(4^{060}\big)^{2}+\big(4^{040}\big)^{3}+\big(4^{030}\big)^{04}+\big(4^{024}\big)^{05}=\big(4^{11}\big)^{11}$

$\big(4^{120}\big)^{3}+\big(4^{090}\big)^{4}+\big(4^{072}\big)^{05}+\big(4^{060}\big)^{06}=\big(4^{19}\big)^{19}$

$\big(4^{210}\big)^{4}+\big(4^{168}\big)^{5}+\big(4^{140}\big)^{06}+\big(4^{120}\big)^{07}=\big(4^{29}\big)^{29}$

$\big(4^{336}\big)^{5}+\big(4^{280}\big)^{6}+\big(4^{240}\big)^{07}+\big(4^{210}\big)^{08}=\big(4^{41}\big)^{41}$

$\big(4^{504}\big)^{6}+\big(4^{432}\big)^{7}+\big(4^{378}\big)^{08}+\big(4^{336}\big)^{09}=\big(4^{55}\big)^{55}$

王守恩 · 发表于 2023-2-24 11:15

试试，配个通项公式。谢谢！

$(4^{020})^{1}+(4^{010})^{2}+(4^{005})^{04}+(4^{004})^{05}=(4^{07})^{03}$

$(4^{045})^{2}+(4^{030})^{3}+(4^{018})^{05}+(4^{015})^{06}=(4^{13})^{07}$

$(4^{084})^{3}+(4^{063})^{4}+(4^{042})^{06}+(4^{036})^{07}=(4^{23})^{11}$

$(4^{140})^{4}+(4^{112})^{5}+(4^{080})^{07}+(4^{070})^{08}=(4^{33})^{17}$

$(4^{216})^{5}+(4^{180})^{6}+(4^{135})^{08}+(4^{120})^{09}=(4^{47})^{23}$

$(4^{315})^{6}+(4^{270})^{7}+(4^{210})^{09}+(4^{189})^{10}=(4^{61})^{31}$

$(4^{440})^{7}+(4^{385})^{8}+(4^{308})^{10}+(4^{280})^{11}=(4^{79})^{39}$

$(4^{594})^{8}+(4^{528})^{9}+(4^{432})^{11}+(4^{396})^{12}=(4^{97})^{49}$

任在深 · 发表于 2023-2-25 02:08

无根之水，
无本之木，
胡编乱造，
扰乱军心！

王守恩 · 发表于 2023-2-25 09:18