一道最适合用解析法证明的几何题

天山草

用复平面解析几何方法最容易做这道题。因为完全不用动脑筋，只套用几个现成公式（直线的复斜率定义公式、点在直线上的投影坐标公式、两直线的交点坐标公式）就能写出计算程序如下：



程序运行结果：



从计算结果看，AB 和 CD 的交点坐标与 AB 和 MN 的交点坐标是完全一样的。这就证明了 AB、CD、MN 三线交于一点。

当然这题也能用 (x, y) 表示点的坐标，即在笛卡尔平面上进行分析，但是好像不如用复数 x+i y 表示点的坐标方便。
无论是用哪种解析方法，在中学生的数学课本中，都不宜过多的介绍成套的公式。不然课本上的东西就太繁琐了，中学生需要学习的比这更重要的知识有的是，即使课本上再增加内容，这些小玩艺儿也难排上号，因此只能在成人世界里作为业余消遣。这就是我的一点看法。

Future_maths

可以试试射影几何的方法。

kanyikan

要证直线AB、CD、MN共线，即证直线BF、DC、MN共线，即证△BDM和△FCN透视(对应顶点连线共点)，
只需证△BDM和△FCN对应边的交点共线即可，即证BD和FC的交点、DM和CN的交点、MB和NF的交点共线，
而这三个点恰好在△ABC底边BC的高上。所以，命题成立。

天山草

1# 楼是在复平面上用解析法证明的。如果是在笛卡尔平面上，不用复数，当然也能证明。

在中学数学的几何课本中，有平面解析几何、立体解析几何，主要是介绍了一些最基本的概念，稍繁琐的公式都没有列入，因为这些公式用人工计算就太费时间了。比如从直线外的一点向该直线引垂线，垂线的长度课本中有介绍，但是垂足的坐标公式就没有列入。又如已知 ABCD 四个点的坐标， AB 与 CD 的交点坐标是什么，也没有介绍。因为这些公式都太复杂，没有计算软件就等于没用。

下面将给出这两个问题的公式，并用这些公式解决主帖所说的问题。



在笛卡尔平面上用 mathematica 编程：



程序运行结果：

denglongshan

对于Simson定理，几何法容易，复数选取外心作原点手工计算也容易，解析几何恐怕难了

denglongshan

不必成套介绍，选择中点即可。如果我是你的学生，问你：
1 应用复斜率概念的一些公式更简捷，考试中可以用吗？
2  既然复数可以表示向量，为什么向量没有除法？
    你怎样回答

天山草

答复 6# 楼：
我认为复斜率的概念虽然很好，但是不宜纳入中学课本中去。因为离开计算软件就没办法应用，也就是说没有办法考试。除非中学有 mathematica 的课程。目前好像没有这个课。另外，复斜率这一套东西，现在只有直线方程、圆方程。还没有扩大到椭圆、双曲线、抛物线这些一般二次曲线领域。是个不完整的体系。

uk702

有的人其使命是完善基础理论，追求完美，有的人将一切视作工具，合手就用。两者都推动世界的进步。

故我认为不用回答。

uk702

如果那一天几何的机器证明取得巨大的进步（应该可以预期），那么几何的价值大概要回归到几何世界和推理逻辑的启蒙上，回归到一种智力游戏上。

uk702

数学的价值，第一在于它是一种智力游戏，第二在于它能解决很多现实问题，第三还在于它（在一定程度上）能预测未来。