无穷集合之间可以相互做比较吗

金瑞生

《无穷集合之间可以相互做比较吗？》是陆元鸿教授今天发表在数学期刊论坛上的一篇文章，我特地转发请大家阅读，也希望该文章能解开困扰jzkyllcjl 多年的疑惑。

撰文 | 卢昌海

大家都知道，自然数（即 0，1，2，3，…）有无穷多个，平方数（即 0，1，4，9，…）也有无穷多个。

现在我们来考虑这样一个问题：自然数和平方数哪个更多？

有读者也许会说：“这还用问吗？当然是自然数多啦！”

确实，平方数只是自然数的一部分，而整体大于部分，因此自然数应该比平方数更多。但细想一下，事情又不那么简单。因为每个自然数都有一个平方，每个平方数也都是某个自然数的平方，两者可以一一对应。从这个角度讲，它们又谁也不比谁更多，从而应该是一样多的，就好比两堆石头，就算不知道各有多少粒，如果能一粒一粒对应起来，我们就会说它们的数目一样多。


图源：pexls

同一个问题，两个相互矛盾的答案，究竟哪一个答案正确呢？

像这种对无穷集合进行比较（即比较元素数目）的问题，曾经让许多科学家感到过困扰。比如著名的意大利科学家伽利略就考虑过我们上面这个问题。他的结论是：那样的比较是无法进行的。

不过，随着数学的发展，数学家们最终还是为无穷集合的比较建立起了系统性的理论，它的基石就是上面提到的一一对应的关系，即：两个无穷集合的元素之间如果存在一一对应，它们的元素数目就被定义为“相等”。按照这个定义，上面两个答案中的后一个，即自然数与平方数一样多，是正确的。

对无穷集合进行比较的系统理论是德国数学家康托尔（George Cantor）提出的。康托尔生于 1845 年，是集合论的奠基者。康托尔的理论是如此新颖，连他自己也曾在给朋友的信件中表示“我无法相信”。与他同时代的许多其他数学家更是对他的理论表示了强烈反对，甚至进行了尖锐攻击。


格奥尔格·康托尔

但时间最终证明了康托尔的伟大。他的集合论成为现代数学的重要组成部分。德国数学大师戴维·希尔伯特（David Hilbert）在一篇文章中表示“没有人能把我们从康托尔为我们开辟的乐园中赶走”。英国哲学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）也称康托尔的理论“也许是这个时代最值得夸耀的成就”。

到这里，有读者也许会问：前一个答案所依据的“整体大于部分”在欧几里得的《几何原本》中被列为公理，不也是很可靠的吗？为什么不能作为对无穷集合进行比较的基石呢？

因为，两个无穷集合之间通常并不存在一个是另一个的部分那样的关系。比如平方数的集合与素数（即 2，3，5，7，…）的集合就谁也不是谁的部分。如果用“整体大于部分”作为基石，就会无法比较。

不过，“整体大于部分”也并没有被抛弃，因为在无穷集合的比较中，还会出现这样的情形，那就是一个无穷集合的元素能与另一个无穷集合的一部分元素一一对应，却不能与它的全体元素一一对应。在这种情形下，数学家们就会依据“整体大于部分”的原则，将后一个无穷集合的元素数目定义为“大于”前一个无穷集合的元素数目（或前一个无穷集合的元素数目“小于”后一个无穷集合的元素数目）。

这种情形的一个例子，是自然数集合与实数集合的比较。很明显，自然数集合的元素（即自然数）能与实数集合的一部分元素（即实数中的自然数）一一对应，但它能否与实数集合的全体元素（即实数）一一对应呢？答案是否定的。因此自然数集合的元素数目“小于”实数集合的元素数目。现在让我们来证明这一点。

我们要证明的是自然数不能与 0 和 1 之间的实数一一对应（从而当然也不能与全体实数一一对应）。我们用反证法：假设存在那样的一一对应，那么 0 和 1 之间的实数就都能以自然数为序号罗列出来。

但是，我们总可以构造出一个新实数，它小数点后的每个数字都在 0 和 9 之间，并且第 n 位数字选成与第 n 个实数的小数点后第 n 位数字不同。显然，这样构造出来的实数与任何一个被罗列出来的实数都不同（因为小数点后至少有一个数字不同）。这与 0 和 1 之间的实数都能以自然数为序号罗列出来相矛盾。

这个矛盾表明自然数是不能与 0 和 1 之间的实数一一对应的。这个证明所用到的构造新实数的方法被称为对角线方法，它在无穷集合的比较中是一种很重要的方法。


图源：pexls

现在我们知道了在无穷集合的元素数目之间可以定义“相等”“大于”“小于”这三种比较关系。但这还不等于回答了“无穷集合可以比较吗？”这一问题。因为我们还不知道会不会有某些无穷集合，它们之间这三种关系全都不满足。那样的情形如果出现，就说明有些无穷集合是不能比较的——起码是不能用我们上面定义的这三种关系来比较。那样的情形会不会出现呢？

这是一个很棘手的问题，涉及数学中一个很重要的分支——集合论——的微妙细节。而集合论有几个不同的“版本”，它们对这一问题的答案不尽相同。因此从某种意义上讲，这可以算是一个有争议的问题。

不过，对于目前被最多数学家所使用的“版本”来说，这一问题的答案是明确的，即：那样的情形不会出现。换句话说，任何两个无穷集合都是可以比较的。

本文转载自微信公众号“原点阅读”，书摘来自于《泡利的错误》。
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jzkyllcjl

第一，虽然无穷集合具有无法构造完毕的性质，但正整数集合1，2，3，……与其平方得到的它的真子集1,4,9,……元素个数相等的论述是错误的，因为：后者是前者的真子集。
第二，根据“无穷集合不能构造完毕的性质”你说的"任何两个无穷集合都是可以比较的" 的话无根据。

elim

jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的白痴，九十多岁了，你弄对过任何数学概念．

jzkyllcjl

elim 发表于 2023-3-2 02:37
jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的白痴，九十多岁了，你弄对过任何数学概念．

第一，骂人市里的表现。
第二，自然数集合的元素个数就是不确定的无穷大，如何与其它无情集合比较多少？

门外汉

康托尔只是个超级大忽悠而已，以无穷旅馆的例子，无穷多个人住满无穷多个房间，然后，我让所有人全都离开旅馆在门外排成一排，换一种方法入住，你会发现，还是那些房间不变，还是那些旅客不变，却无论如何也住不满了。

elim

门外汉 发表于 2023-3-2 00:13
康托尔只是个超级大忽悠而已，以无穷旅馆的例子，无穷多个人住满无穷多个房间，然后，我让所有人全都离开旅 ...

又来抽老千了？

金瑞生

jzkyllcjl 发表于 2023-3-2 10:05
第一，虽然无穷集合具有无法构造完毕的性质，但正整数集合1，2，3，……与其平方得到的它的真子集1,4,9,… ...

       重温毛主席《矛盾论》可以得出的结论是：科学理论不仅可以有而且必须有矛盾的存在。必须纠正长期存在我们头脑中的“科学理论不能有矛盾”的错误观念。《矛盾论》在论述矛盾的普遍性时，引用了恩格斯、列宁的说明“在数学中，正和负，微分和积分。在力学中，作用力和反作用力。在物理学中，阳电和阴电。在化学中原子的化合和分解。在社会科学中，阶级斗争。”都是矛盾。可见科学理论不仅可以有而且必须有矛盾的存在。可是数学术语中的矛盾与《矛盾论》中的矛盾并非同一概念，数学术语中的矛盾在数学学科中是不允许存在的。我们在数学学科中一定要学会分清不同性质的矛盾，有哪些矛盾是不允许存在的；有哪些矛盾是可以存在或者必须存在的。不要一提到矛盾不管是不是数学术语中的矛盾就否定学科的合理性。例如：以所谓“自然数集合不能构造完成'的理由，否定数学归纳法的合理性。事实上运用数学归纳法，根本不需要去构造自然数集。还有以几何的‘整体大于部分“公理否定”一一对应关系“，在《无穷集合之间相互可以作比较吗？》一文中，作者详细介绍为何不能用几何的”整体大于部分“公理作为判定两个无穷集合元素个数多少的标准的原因，以及使用”一一对应关系“作为判定两个无穷集合元素个数相等标准的好处，并说明在使用"一一对应关系”标准判定元素个数“相等”前提下，如何使用”用整体大于部分“公理判定元素个数”大于“和”小于“。可以说这是数学中运用唯物辩证法成功处理”整体大于部分“和”一一对应关系“这对矛盾关系的典范。值得大家好好学习，特别是”jzkyllcjl “们。

jzkyllcjl

自然数及其集合都是研究的问题。余元希《初等代数研究》ZFC形式公理给出的自然数定义不成立，康托尔的给出自然数集合的无穷基数理论不成立。参看笔者的 "自然数及其集合的现实意义及其应用问题" 的帖子。

门外汉

elim 发表于 2023-3-2 07:18
又来抽老千了？

我是揭老千的底

门外汉

一一对应就是康托尔忽悠人的魔术道具