已知对称阵 A＞0 ，B＞0 。证明 det(A+B)≥detA+detB

wilsony

谁能证明？

chenjiahao

证：
已知存在酉阵P,使PBP*=\(\Lambda\),其中\(\Lambda\)=\(diag\left( \lambda_1{,}\cdots{,}\lambda_n\right)\),\(\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_n\ge0\)为\(B\)的特征值.
因为\(\det\left( A+B\right)=\det\left( PAP*+\Lambda\right){,}\det A=\det PAP*{,}\det B=\det\Lambda\),
且\(PAP*\ge0\),故不失普遍性，我们可假设 B=A.
将\(\det\left( A+\Lambda\right)\)展开，得
\[\det\left( A+\Lambda\right)=\det A+\sum_{i=1}^n\lambda_id_i+\sum_{1\le i\le j\le n}^{ }\lambda_i\lambda_jd_{ij}+\cdots+\prod_{i=1}^n\lambda_i\]
其中\(d_{i_1i_k}\)表示从A中剔除第\(i_{1{,}\cdots{,}}i_k\)行和列之后剩下的方阵的行列式,
因为A≥0 ,又因 \(\det B=\prod_{i=1}^n\lambda_i\),从
\[\det\left( A+\Lambda\right)=\det A+\sum_{i=1}^n\lambda_id_i+\sum_{1\le i\le j\le n}^{ }\lambda_i\lambda_jd_{ij}+\cdots+\prod_{i=1}^n\lambda_i\]
我们得到
\[\det\left( A+\Lambda\right)\ge\det A+\det\Lambda.\]
于是\[\det(A+B)\ge\det A+\det B\]得证.

证明摘自
       矩阵不等式，第二版（王松桂，吴密霞，贾忠贞）

wilsony

没大看懂。为什么detB=detA？

chenjiahao

wilsony 发表于 2023-3-4 18:30
没大看懂。为什么detB=detA？

detB=det\(\Lambda\)是假设，而且该假设不失普遍性

wilsony

是否有印刷错误？

chenjiahao

wilsony 发表于 2023-3-4 20:20
是否有印刷错误？

抱歉，是的，证明过程已更正