以逆向推演的新颖方式，对考拉兹猜想(冰雹猜想)的证明及延伸思考

ab.571016

                        (一)

著名的考拉兹猜想，包含有以下两个基本命题：

命题1.
所有的奇数X,都能有：
(3X+1)/2^n=X'(X'为奇数或是1)之推演方式。
命题2.  
由上述的方式不断连续推演，最终必会得到1。

分析：
首先，命题2若要成立,则我们必须证明前提条件：
若X为>1的奇数，由(3X+1)/2^n=X'之推演方式不断推演，永不会出现又回归到X。(而一切对“考拉兹猜想”的证明，若无此前提条件的充分证明，都是无效的证明)

现予以证明：
假设有奇数g,以g为始点，以
(3X+1)/2^n=X'(X'为奇数)方式连续推演后
又能回归到g，则会有下面的等式：
(3^n*g)/2^(x+y+z…+m)+3^(n-1)/2^(x+y+z…+m)+3^(n-2)/2^(y+z…+m)+
3^(n-3)/2^(z+…+m)……+1/2^m=g
则有：(3^n*g)/2^(x+y+z…+m)+3^(n-1)/2^(x+y+z…+m)+2^x*3^(n-2)/2^(x+y+z…+m)+2^(x+y)*3^(n-3)/2^(x+y+z…+m)……+2^(x+y+z…+m-m)/2^(x+y+z…+m)=g
   则有：        (3^n)*g+3^(n-1)+2^x*3^(n-2)+
2^(x+y)*3^(n-3)……+2^(x+y+z…+m-m)=2^(x+y+z…+m)*g  亦即意味着：方程右边的2^(x+y+z…+m)*g 应能转换为左边的多项代数式。注意到：方程左边多项代数式显示出每一项3的方次逐级下降，直至末项无有3因的代数结构特点，而等式的石边2^(x+y+z…+m)*g若分解为每一项3的方次同样逐级下降的多项式，则可作如下分解：

设 (x+y+z…+m)=n+k (因等式左边3的最高方次数n<等式石边2的方次数 x+y+z…+m)   则：
2^(x+y+z……+m)*g=2^k*2^n*g
=2^k*(3-1)^n*g =
2^k*g*3^n - 2^k*g*C(n,1)*3^(n-1) + 2^k*g*C(n,2)*3^(n-2) - 2^k*g*C(n,3)*3^(n-3)……±2^k*g

故：2^(x+y+z…+m)*g 即使也展开为3的方次n逐级下降的多项式结构
2^k*g*3^n - 2^k*g*C(n,1)*3^(n-1) + 2^k*g*C(n,2)*3^(n-2) - 2^k*g*C(n,3)*3^(n-3)……±2^k*g
与左边：(3^n)*g+3^(n-1)+2^x*3^(n-2)+
2^(x+y)*3^(n-3)……+2^(x+y+z…+m-m)的多项式结构也存在“结构基本要素”上质的不同(代数多项式的三大结构要素为：1.多项式的项数。 2.联系各项的±形式。3.各项的数元组合状况及数元指数在各项的分布特征，它们相互关联地构成了数学的代数多项式。一“基本结构要素”的改变，也将导致其它“基本结构要素”的改变)，因为有“结构基本要素”上的明显区别：方程左边只有首项有g因(而即使g为3^k,其末项也没有g因)
，而石边各项都有g因，方程左边各项全是以+而联系，方程石边各项全是以+-交替而联系等，因为其“结构基本要素”上质的不同，故两者的代数结构式不可能完备地相互转换！而方程两边若是数值相等，则其两边的代数结构式也必能完备地相互转换。
故：
(3^n)*g+3^(n-1)+2^x*3^(n-2)+
2^(x+y)*3^(n-3)……+2^(x+y+z…+m-m)  ≠ 2^(x+y+z…+m)*g
即：
(3^n*g)/2^(x+y+z…+m)+3^(n-1)/2^(x+y+z…+m)+3^(n-2)/2^(y+z…+m)+
3^(n-3)/2^(z+…+m)……+1/2^m ≠ g
即有首要的定理1：
由(3X+1)/2^n=X'(X'为奇数或是1)之推演方式不断推演，永不会出现又回归到X。

顺代提一下：若是由(3X-1)/2^n=X'(X'为奇数或是1)之推演方式不断推演，则可出现又回归到X。这是因有唯一特例：当有(2^3)写为(3-1)^3后，则有:3^3-C(3,1)3^2+C(3,2)3-1=3^3-3^3+3^2-1=3^2-1  而2^3*5和2^3*7 则可写为：
(3^2*5-3-2)和(3^2*7-3-4] 则有如下等式：
(3^2*5-3-2)/2^(1+2)=5
(3^2*7-3-4)/2^(2+1)=7
而以(3X-1)/2^n=X'的推演形式，唯有当X为5或7时，会出现以上的两个等式，即：当以(3X-1)/2^n=X'的推演形式不断推演，当若推演出5或7时，便会陷入往复循环，其推演不可能都回复到1。

                            (二)

     由上述的命题1,我们可逆向推演出如下证明考拉兹猜想的重要基础定理：
定理2
所有不含3因的数X (X为奇数或者1),都能有：(2^n*X-1)/3=X'(X'为奇数)的推演方式。
由定理2：

我们可更具体深入地推演出定理3：
[(2^2n*1-1]/3=g(g为奇数,n为任意正整数)
证明：
将2^2n改写为(3-1)^2n，其二项式展开后，唯有最后一项没有3的因子而为1，而1-1=0后，各项均有3因，故能被3整除。

定理4:
[2^(2n-1)*1+1]/3=g(g为奇数，n为任意正整数)
证明：
将2^(2n-1)改写为(3-1)^(2n-1)，其二项式展开后，唯有最后一项没有3的因子而为-1，而-1+1=0后，各项均有3因，故能被3整除。

定理5：
因为不含3因的奇数必为3x+2或3x-2 (x为奇数)。

若奇数g为3x-2,则2^(2n)*g-1必能被3整除。
证明：
将2^(2n)改写为(3-1)^2n，其二项式展开式与(3x-2)相乘，则没有3因的一项为-2，而-2-1为-3后，各项均有3因，故必能被3整除。

若奇数g为3x+2,则2^(2n-1)*g-1必能被3整除。
证明：
将2^(2n-1)改写为(3-1)^(2n-1)，其二项式展开式与(3x+2)相乘，则没有3因的一项为-2，而-2-1为-3后，各项均有3因，故必能被3整除。

定理6:

(2^n*X-1)/3 (X为3x-2, n取2.4.6.8.10…。X为3x+2, n取1.3.5.7.9…)所生成的数例必有不含3因的奇数。
证明：
若
(2^k*x-1)/3=3g(g为包括1的奇数),
有2^k*x=9g+1,
则2^(k+2)*x=2^2*9g+2^2,
则2^(k+2)*x-1=2^2*9g+2^2-1,
则(2^(k+2)*x-1)/3=2^2*3g+1
则(2^(k+2)*x-1)/3 必为不含3因奇数

定理7:
(2^n*X-1)/3 (X为3x-2, n取2.4.6.8.10…。X为3x+2, n取1.3.5.7.9…)所得的数例中，必有包含3因的奇数。
证明：
因任何不含3因的奇数，都可表示为3g+2或3g-2 (g为任意奇数)。

若有：
(2^k*X-1)/3=3g+2  则有：2^k*X=3^2*g+3×2+1 则有：
2^k*X=3^2*g+7 则有：
2^(k+2)*X=3^2*4g+28 则有
2^(k+2)*X-1=3^2*4g+28-1 则有
(2^(k+2)*X-1)/3=3*4g+9 有：
(2^(k+2)*X-1)/3=3(4g+3)
而3(4g+3)为：含有3因的奇数。

故若：(2^k*X-1)/3=3g+2
则必有：(2^(k+2)*X-1)/3=3g'

若有：
(2^k*X-1)/3=3g-2 则有：2^k*X=3^2*g-3×2+1 则有：
2^k*X=3^2*g-5 则有：
2^(k+4)*X=3^2*16g-16×5 则有
2^(k+4)*X-1=3^2*16g-80-1 则有
(2^(k+4)*X-1)/3=3*16g-27有：
(2^(k+4)*X-1)/3=3(16g-9)
而3(16g-9)为：含有3因的奇数。

故若：(2^k*X-1)/3=3g-2
则必有：(2^(k+4)*X-1)/3=3g'

有了以上的重要基础定理,从而，我们就可从1开始，以：
[(2^2n)*1-1]/3(n为>1正整数)的方式，由n=2,n=3,n=4,n=5……逐一推演出数值无穷递增的数列：{an}，而{an}中不含3因的每一个数a，又可以：[(2^2n)*X-1]/3或者[2^(2n-1)*X-1]/3(n为正整数)两方式，由n=1,n=2,n=3,n=4,n=5……逐一推演出无数个数值无穷递增的数列{a'n∞} (说明：符号{∞}表示是无穷个数例)，而{a'n∞}中不含3因的每一个数a'，又可以：[(2^2n)*X-1]/3或者[2^(2n-1)*X'-1]/3(n为正整数)两方式，由：n=1,n=2,n=3,n=4,n=5……逐一推演出无数个数值无穷递增的数列{a''n∞}，而{a''n∞}中不含3因的每一个数a''，又可以：[(2^2n)*X-1]/3或者[2^(2n-1)*X-1]/3(n为正整数)两方式，，由：n=1,n=2,n=3,n=4,n=5……逐一推演出无数个数值无穷递增的数列{a''''n∞}……
………

由上面的推演方式，推演成为犹如“原子裂变”式的无限扩张推演，这种无限扩展的推演，将会覆盖自然数任何广域范围内的所有奇数！从而，这种推演方式也可形象地喻示为：“从1的树干开始，几何倍数级地不断分长出无限的枝叶…”，其整个的树干、枝干、叶片，便是不断延伸出的自然数中的奇数。所以，犹如叶片和枝干最终都与树干相通联，所有自然数中的奇数,也可由从1开始，以(2^n*X-1)/3为形式的(X为1.或为不含3因的奇数)无限扩张裂变式推演，与1相通联，而从1开端的如上推演犹如产生“电流的流动”，而必然能流向所有不含3因的奇数“导体”，并抵达终止于：所有含有3因的奇数“绝缘体”。

所以：

任何自然数中的奇数，其以(2^n*X-1)/3的逆推演形式：(3X+1)/2^n=X'(X和X'为奇数)，不断推演，最终必然能得到1。

         
                         (三)
     
       让我们更深细地作以下论证：
在自然数范围，(3X+1)/2^n=X'(X,X'为奇数)的连续推演方式，若起始的X为所有含3因的奇数3G,并以[3X+1]/2=X'或者[3X+1]/2^=X'的限定方式而随机连续推演,将推演出无数条长短不一的数链，例如：
以(3*3+1)/2=5，得到数链3,5。
以(3*9+1)/2^2=7后继续推演，将得到如下数链：9,7,11,17,13。
以(3*15+1)/2=23后继续推演，将得到如下数链：15,23,35,53。
………
………

以所有含3因的奇数3G为开端，所推演出无数条长短不一的数链，若将这些数链各作为一集合看待，由于其特殊的推演方式，决定了：
    1.每集合中的数之间，存在：非共有某些质数因及其增长和衰减、非等差、非等比、非尊循一确定的函数关系…等否定性特征。
    2.各个集合内部虽表现出存在共同的否定性特征，但各集合间则必是相并关系：所含自然数元素必然各不相同。因若有相同的元素g,则意味着g 既可逆向推演出3g'，又可逆向推演出3g'',而这是不可能的。

    因此，所有的含3因的奇数3G，加上由3G为开端所推演出的这些无数条数链中的无穷多不含3因的奇数，必包含自然数中所有的奇数(不包括1)。
因为：
    1. 倘若不包含自然数中除1外的所有奇数，意味着有某一非3因的奇数g,以g为始端可作：[(2^2)*X-1]/3或[2*X-1]/3的随机不断逆向推演,能推演出一条有同样否定性特征且无穷多不含3因的相异奇数链，并能与由所有3G所正向推演出的无穷多条奇数链中不含3因的奇数间不会有重合之数，而这是不可能的！
  2. 凡非3因>1的奇数g，都可以(2^2*X-1)/3或(2*X-1)/3 两方式进行随机的逆向推演，而其推演出的非3因奇数链，与正向推演出的非3因数链，具有同样的否定性特征，所以也非尊循一确定的函数关系，不可能由自变量n不断取任意大的整数值使所生成的数链趋于无穷。而
这意味着奇数g，必是由某确定的奇数x为始点 (而非无穷大的奇数)，以(3X+1)/2^2或(3X+1)/2为形式，所正向有限的连续多次(或一次性)推演所得到的数(因任何确定的数值，都是由有限次推演所得的结果)。而此所能进行的最多次连续推演，则必是以x=3x'为始点所进行的推演。
     所以，凡非3因的奇数g，不可能以：(2^2)*X-1]/3或[2*X-1]/3 的随机不断逆向推演,而推演出一条无穷多不含3因的相异奇数链。

   所以，我们得到定理8:
自然数中，所有 >1且不含3因的奇数G，以[(2^2)*X-1]/3或[2*X-1]/3 方式的随机连续逆向推演,所推演出的数链，最后必终止于含有特定3因的奇数3g上。
这样的数链自然也会有无穷多条，自然数中，所有不含3因的奇数(不包括1)，也必将分属在这无穷多条终止于3G奇数的数链上。

     所以，我们若能证明：由1为始端，以[(2^2n)*X-1]/3或者[2^(2n-1)*X-1]/3 (X为包含1的奇数；n为正整数，取1.2.3.4.5……)所作的“原子裂变”式的扩展推演所推演出的所有不含3因的奇数G，G为始端以[(2^2)*X-1]/3或[2*X-1]/3 再作随机连续推演而形成的数链，最后会抵达并终止于3g=(2^2n*1-1)/3之外的所有3G'上，则即证明了：
由1为始端，以[(2^2n)*X-1]/3或[2^(2n-1)*X-1]/3两方式 (X为包括1的奇数，n为正整数)所作的“原子裂变”式的不断扩展推演，将会覆盖自然数任何广域范围内的所有奇数！

我们可用反证法来作出以上证明：
假设有n多个3因奇数，不与由1为开端以[(2^2n)*X-1]/3或者[2^(2n-1)*X-1]/3为方式所推演出的无数条数链连接, 那么，由这些3因奇数为始端，以(3X+1)/2^n=X'方式而连续推演所生成的数链，将无有最大值的上限数，而会绵延无有尽头(因为数链上所生成的数不会重复，若有上限数，则最终必会生成奇数g,有(3g+1)/2^k=1)，形成n多条无有尽头的数链。

    1. 若这些数链不相交：
  则有这些数链上的任一非3因数g,是由前一数以(3X+1)/2^2k或(3X+1)/2^(2k-1)方式所得出，则由g以：[2^(2k+2)*g-1]/3 或[(2^(2k+1)*g-1]/3所直接得到的3因奇数3g'，或得出非3因奇数g'后再以[(2^2)*X-1]/3或[2*X-1]/3 作随机逆向推演所必得到的3因奇数3g''，则只能被认定是由1逆向推演所得到的3因奇数，而这就产生出矛盾！要化解此矛盾，则这些数链必须有所相交。

    2.若这些数链彼此相交：
    无管是彼此都相交，还是部份与部份数链间的彼此相交，这些数链上都必存在不是相交数的非3因奇数g, 若g是由前一数以(3X+1)/2^k或者(3X+1)/2^(2k-1)方式所得出，则由g以：[2^(2k+2)*g-1]/3 或[(2^(2k+1)*g-1]/3所直接得到的3因奇数3g'，或得出非3因奇数g'后再以[(2^2)X-1]/3或[2* X-1]/3 作随机逆向推演所必得到的3因奇数3g''，则仍只能被认定是由1逆向推演所得到的3因奇数！即仍然会导出矛盾！
所以，假设有多个3因奇数，以(3X+1)/2^n=X'而连续推演所生成不含1的数链会绵延无有尽头，必将导出矛盾！故这些数链并不存在。故所有的3因奇数，都必然会被由1为开端以[(2^2n)*X-1]/3或者[2^(2n-1)*X-1]/3为方式的逆向推演，所最终推演出！

而这，即证明了：由1为始端，以[(2^2n)*X-1]/3或者[2^(2n-1)*X-1]/3 (X为包括1的奇数, n为正整数)所作的“原子裂变”式的不断扩展推演，将会覆盖自然数任何广域范围内的所有奇数！

至此，可再作如下一简洁的证明：
因为：由1为始端，以[(2^2n)*X-1]/3或者[2^(2n-1)*X-1]/3 (X为包括1的奇数, n为正整数) 所作的“原子裂变”式的不断逆向扩展推演，所分别生成的无数条数链中所含的无穷多彼此相异奇数，含有最下值3(因由(2^4*1-1)/3推出5后,再由(2*5-1)/3 可推出3)，却无有上限值，且这些无数条奇数链，存在同样的否定性：数链内的奇数间非共含某些质数因及其指数的增长或衰减、非等差、非等比…等否定性规范和特征。而任何一奇数g为始端，以(3X+1)/2^n=X'(X'为奇数)方式所作的连续推演，作为互逆的正向推演，所推演出彼此相异且不包含1的奇数链,自然也存在：非共含某些质数因及其指数的增长或衰减、非等差、非等比…等同样的否定性规范和特征。若假设推演出的该奇数链不会回归1,则此一奇数链上的数也会无上限而趋于无穷(因数链上不会有相同奇数，若有上限，其推演最后必抵达能回归到1的奇数)。而若这样：此正向推演出的奇数链上的无穷多奇数，与由1所逆向演绎而分别生成的无穷多奇数链上的奇数必然会有所相交！有相交的共同之数！而这又意味着由g开始以(3X+1)/2^n 所作的连续正向推演又还是必回归到1。即：假设以g开始作(3X+1)/2^n=X'(X'为奇数) 可推演出无有上限值的无穷多奇数必导致矛盾而不能成立！

所以：任何的奇数X，以(3X+1)/2^n=X'(X'为奇数)形式所作的连续推演，最终必然会：与由1为始端而逆向推演出的无数奇数中的某一数相交。
由此相交，而必会回归到1。

所以：任何的奇数，都在以1为始端而逆向推演出的无数奇数及数链中，所以
以(3X+1)/2^n=X'(X'为奇数)为形式所作的连续推演，最终都必然会：
回归到1。

ab.571016

                           (四)

     值得指出的是：以上对“考拉兹猜想”的独到证明方法，完全可推广到对“考拉兹猜想”更深广延伸猜想的考察，而证明是否能成立。例如5X+1，7X+1, 11X+1…最终回归到1是否能成立的问题。

我们首先分析：
以(5X+1)/2^n=X'(X'为奇数)方式的连续推演是否最终回归到1的问题。
    1.以(5X+1)/2^n=X'(X'为奇数)方式的连续推演不可能又回归到X。因为：我们前文对“定理1”的证明方法和结论，也适合于更一般的形式：以(JX+1)/2^n=X'方式的连续推演是否最终又回归到X的问题。
若假设能回归到X，则是假设有奇数g,以g为始点，以
(JX+1)/2^n=X'(X'为奇数)方式连续推演后
又能回归到g，则会有下面的等式：
(J^n*g)/2^(x+y+z…+m)+J^(n-1)/2^(x+y+z…+m)+J^(n-2)/2^(y+z…+m)+
J^(n-3)/2^(z+…+m)……+1/2^m=g
则有：
(J^n)*g+J^(n-1)+2^x*J^(n-2)+
2^(x+y)*J^(n-3)……+2^(x+y+z…+m-m)=2^(x+y+z…+m)*g  亦即意味着：方程右边的2^(x+y+z…+m)*g 应能转换为左边的多项代数式。注意到：方程左边多项代数式显示出每一项J的方次逐级下降，直至末项无有J因的代数结构特点，而等式的石边2^(x+y+z…+m)*g若分解为每一项J的方次同样逐级下降的多项式，则可作如下分解：

设 (x+y+z…+m)=n+k (因等式左边J的最高方次数n<等式石边2的方次数 x+y+z…+m)   再设：J-2=R
则：
2^(x+y+z……+m)*g=2^k*2^n*g
=2^k*(J-R)^n*g =
2^k*g*J^n - 2^k*g*C(n,1)*J^(n-1)*R+ 2^k*g*C(n,2)*J^(n-2)*R^2- 2^k*g*C(n,3)*J^(n-3)*R^3……±2^k*g*R^n
并最终推演出：
(J^n)*g+J ^(n-1)+2^x*J^(n-2)+
2^(x+y)*J^(n-3)……+2^(x+y+z…+m-m)
=  2^k*g*J^n - 2^k*g*C(n,1)*J^(n-1)*R+ 2^k*g*C(n,2)*J^(n-2)*R^2 - 2^k*g*C(n,3)*J^(n-3)*R^3……±2^k*g*R
注意到：等式左右两边多项式虽表现为相同多的项数，同是J^n指数的逐项下移，但也存在“结构基本要素”上的明显区别：方程左边只有首项有g因(即使g为J^k,其末项也没有g因)，而石边各项都有g因，方程左边各项全是以+而联系，方程石边各项全是以+-交替而联系等…，因为其“结构基本要素”上质的不同，故两者的代数结构式不可能相互转换！而方程两边若是数值相等，则其两边的代数结构式也必能相互转换。故上面的方程等式不能成立！
故：
(J^n)*g+J ^(n-1)+2^x*J^(n-2)+
2^(x+y)*J^(n-3)……+2^(x+y+z…+m-m)
≠  2^k*g*J^n - 2^k*g*C(n,1)*J^(n-1)*R+ 2^k*g*C(n,2)*J^(n-2)*R^2 - 2^k*g*C(n,3)*J^(n-3)*R^3……±2^k*g*R
故：(J^n*g)/2^(x+y+z…+m)+J^(n-1)/2^(x+y+z…+m)+J^(n-2)/2^(y+z…+m)+
J^(n-3)/2^(z+…+m)……+1/2^m ≠ g

故由前文的“定理1”可引伸出更一般性的定理9：
若X为>1的奇数，由(JX+1)/2^n=X'(J、X为奇数)之推演方式不断推演，永不会出现又回归到X。

ab.571016

2. 我们有：
(2^4n*1-1)/5=g(g为奇数)
证明：
因(2^4*1-1)/5=3
而2^4n*1-1=(2^4)^n-1
设2^4=a   则有公式：
a^n-1=(a-1)[a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+……‘+a+1]
而(a-1)能被5整除，故
(a-1)[a^(n-1)+a^(n-2)+a^(n-3)+……‘+a+1] 能被5整除。   即：a^n-1能被5整除。
即：(2^4)^n-1能被5整除。

   3.任何非5因的奇数，可表达为：5x+2∨5x+4∨5x-2∨5x-4  (符号∨为“或者”)。
  (1.) 因 2(5x+2)=10x+4  则 2(5x+2)+1=10x+5=5g 则
2(5x+2)=5g-1   则
2^3(5x+2)=20g-4
则：2^3(5x+2)-1=20g-5=5g'‘
则：2^3(5x+2)=5g'+1
而2^(3+4n)*(5x+2)=2^4n*5g'+2^4n  则：
2^(3+4n)*(5x+2)-1=2^4n*5g'+2^4n-1
因2^4-1=15  依据a^n-1公式，
故有2^4n-1被5整除  则
2^4n*5g'+2^4n-1被5整除

即：2^(3+4n)*(5x+2)-1 被5整除

(2.) 因 2(5x+4)=10x+8  则 2^2(5x+4)=20x+16 则
2^2(5x+4)-1=20+15 则
2^2(5x+4)-1=5g
则 2^2(5x+4)=5g+1
则 2^(2+4n)*(5x+4)=2^4n*5g+2^4n
则 2^(2+4n)*(5x+4)-1=2^4n*5g+2^4n-1
因2^4-1=15  依据a^n-1公式，
故有2^4n-1被5整除  则：2^4n*5g+2^4n-1 被5整除

即：2^(2+4n)*(5x+4)-1被5整除。

(3.) 因 2(5x-2)=10x-4  
则 2(5x-2)-1=10x-5= 5g
则 2(5x-2)= 5g+1
则 2(1+4n)*(5x-2)-1=2^4n*5g+2^4n-1
因2^4-1=15  依据a^n-1公式，
故有2^4n-1被5整除  则：
2^4n*5g+2^4n-1被5整除

即： 2(1+4n)*(5x-2)-1 被5整除

(4.) 因 2(5x-4)=10x-8  则 2^2(5x-4)=20x-16 则
2^2(5x-4)+1=20-15=5g 则
2^(5x-4)=5g-1
则：2^4(5x-4)=5g-4
则：2^4(5x-4)-1=5g-5=5g'
则：2^4(5x-4)=5g'+1
则：2^(4+4n)*(5x-4)=2^4n*5g'+2^4n
则 2^(4+4n)*(5x-4)-1=2^4n*5g'+2^4n-1
因2^4-1=15  依据a^n-1公式，
故有2^4n-1被5整除  则：
2^4n*5g'+2^4n-1被5整除

即：2^4(n+1)*(5x-4)-1被5整除

ab.571016

4.
(2^(k+4n)*X-1)/5 (n取1.2.3.4.5.…)所生成的数例必有不含5因的奇数。
证明：
当(2^(k+4n')*X-1)/5=5g
则 2^(k+4n')*X-1=25g
则 2^(k+4n')*X=25g+1
则 2^(k+4(n'+1)*X=2^4*25g+16
则 2^(k+4(n'+1)*X-1=2^4*25g+15
则 [2^(k+4(n'+1)*X-1]/5=2^4*5g+3
而2^4*5g+3不含5因
故：若(2^(k+4n')*X-1)/5=5g
则   [2^(k+4(n'+1)*X-1]/5 必为不含5因的奇数。

而以上对(2^(k+4n)*X-1)/5 (n取1.2.3.4.5.…)所生成的数例必有不含5因奇数的证明，其实也证明了(2^(k+4n)*X-1)/5 (n取1.2.3.4.5.…)所生成的不含5因奇数有无穷多个！

5.
(2^(k+4n)*X-1)/5 (n取1.2.3.4.5.…)所生成的数例必有包含3因的奇数。
证明：
(1)若(2^(k+4n')*X-1)/5=5g+2
则 (2^(k+4n')*X-1=25g+10
则 (2^(k+4n')*X=25g+11
则 (2^(k+4(n'+1)*X=2^4*25g+2^4*11
则 2^(k+4(n'+1)*X-1=2^4*25g+175
则 [2^(k+4(n'+1)*X-1]/5=2^4*5g+35
则 [2^(k+4(n'+1)*X-1]/5=5[2^4*g+7]

故：若(2^(k+4n')*X-1)/5=5g+2
则  [2^(k+4(n'+1)*X-1]/5 所得奇数必含5因。

(2)  若(2^(k+4n')*X-1)/5=5g+4
则 (2^(k+4n')*X-1=25g+20
则 (2^(k+4n')*X=25g+21
则 (2^(k+4(n'+2)*X=2^8*25g+2^8*21
则 2^(k+4(n'+2)*X-1=2^8*25g+5375
则 [2^(k+4(n'+2)*X-1]/5=2^8*5g+1075
则 [2^(k+4(n'+2)*X-1]/5=5[2^8*g+215]

故：若(2^(k+4n')*X-1)/5=5g+4
则  [2^(k+4(n'+2)*X-1]/5 所得奇数必含5因。

(3)  若(2^(k+4n')*X-1)/5=5g-2
则 (2^(k+4n')*X-1=25g-10
则 (2^(k+4n')*X=25g-9
则 (2^(k+4(n'+4)*X=2^16*25g-2^16*9
则 2^(k+4(n'+4)*X-1=2^16*25g-589825
则:
[2^(k+4(n'+4)*X-1]/5=2^16*5g-117965
则 [2^(k+4(n'+4)*X-1]/5=
5[2^16*g-23593]

故：若(2^(k+4n')*X-1)/5=5g-2
则  [2^(k+4(n'+4)*X-1]/5 所得奇数必含5因。

(4)  若(2^(k+4n')*X-1)/5=5g-4
则 (2^(k+4n')*X-1=25g-20
则 (2^(k+4n')*X=25g-19
则 (2^(k+4(n'+3)*X=2^12*25g-2^12*19
则 2^(k+4(n'+3)*X-1=2^12*25g-77825
则:
[2^(k+4(n'+3)*X-1]/5=2^12*5g-15565
则 [2^(k+4(n'+3)*X-1]/5=
5[2^12*g-3113]

故：若(2^(k+4n')*X-1)/5=5g-4
则  [2^(k+4(n'+3)*X-1]/5 所得奇数必含5因。

ab.571016

6.
同样的：有了以上的重要基础定理,从而，我们就可从1开始，以：
[(2^4n)*1-1]/5(n为>1正整数)的方式，由n=1,n=2,n=3,n=4,n=5……逐一推演出数值无穷递增的数列：{an}，而{an}中不含5因的每一个数a，又可以：
[(2^(1+4n)*X-1]/5 ∨
[2^(2+4n)*X-1]/5∨
[(2^(3+4n)*X-1]/5 ∨
[2^(4+4n)*X-1]/5 (n为正整数)
四方式，由n=0,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5……逐一推演出无数个数值无穷递增的数列{a'n∞} (说明：符号{∞}表示是无穷个数例)，而{a'n∞}中不含5因的每一个数a'，又可以：
[(2^(1+4n)*X-1]/5 ∨
[2^(2+4n)*X-1]/5∨
[(2^(3+4n)*X-1]/5 ∨
[2^(4+4n)*X-1]/5 (n为正整数)
四方式
由：n=0,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5……逐一推演出无数个数值无穷递增的数列{a''n∞}，而{a''n∞}中不含5因的每一个数a''，又可以：
[(2^(1+4n)*X-1]/5 ∨
[2^(2+4n)*X-1]/5∨
[(2^(3+4n)*X-1]/5 ∨
[2^(4+4n)*X-1]/5 (n为正整数)
四方式
由：n=0,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5……逐一推演出无数个数值无穷递增的数列{a''''n∞}……
………

由上面的推演方式，推演成为犹如“原子裂变”式的无限扩张推演，这种无限扩展的推演，将会覆盖自然数任何广域范围内的所有奇数！从而，这种推演方式也可形象地喻示为：“从1的树干开始，几何倍数级地不断分长出无限的枝叶…”，其整个的树干、枝干、叶片，便是不断延伸出的自然数中的奇数。所以，犹如叶片和枝干最终都与树干相通联，所有自然数中的奇数,也可由从1开始，以(2^n*X-1)/5为形式的(X为1.或为不含5因的奇数)无限扩张裂变式推演，与1相通联，而从1开端的如上推演犹如产生“电流的流动”，而必然能流向所有不含5因的奇数“导体”，并抵达终止于：所有含有5因的奇数“绝缘体”。

所以：

任何自然数中的奇数，其以(2^n*X-1)/5的逆推演形式：(5X+1)/2^n=X'(X和X'为奇数)，不断推演，最终必然能得到1。