能给出D(x)下界值的单元筛法

小草

能给出D(x)下界值的单元筛法

文/施承忠


D(4qk^2)≈∑qk
【】q1=3
D(36)≈3
但D(68)=2
2<3
所以x>36
D(x)>0
我们将q1=3筛掉
【】q2=5
D(100)≈3+5=8
但D(128)=3
3<5
所以x>100
D(x)>0
我们将q2=5筛掉
【】q3=11
D(484)≈3+5+11=19
但D(488)=9
9<11
所以x>484
D(x)>0
我们将q3=11筛掉
q4=17
D(1156)≈3+5+11+17=36
且D(1412)=18
18>17
所以x>1156
D(x)>17
我们将q4=17留下
【】q5=29
D(3364)≈65
17+29=46
但D(3632)=40
40<46
所以x>3364
D(x)>17
我们将q5=29筛掉
q6=41
D(6724)≈106
17+41=58
且D(7292)=67
67>58
所以x>6724
D(x)>58
我们将q6=41留下
【】q7=59
D(13924)≈165
58+59=117
但D(14138)=117
117=117
所以x>13924
D(x)>58
我们将q7=59筛掉
q8=71
D(20164)≈236
58+71=129
且D(20348)=155
155>129
所以x>20348
D(x)>129
我们将q8=71留下
q9=101
D(40804)≈337
129+101=230
且D(40814)=280
280>230
所以x>40804
D(x)>230
我们将q9=101留下
【】q10=107
D(45796)≈444
230+107=337
但D(45998)=296
296<337
所以x>45998
D(x)>230
我们将q10=107筛掉
q11=137
D(75076)≈581
230+137=367
且D(75188)=447
447>367
所以x>75076
D(x)>367
我们将q11=137留下
q12=149
D(88804)≈730
367+149=516
且D(89372)=521
521>516
所以x>88804
D(x)>516
我们将q12=149留下
q13=179
D(128164)≈909
516+179=695
且D(129524)=704
704>695
所以x>128164
D(x)>695
我们将q13=179留下
【】q14=191
D(145924)≈1100
695+191=886
但D(147248)=790
790<886
所以x>145924
D(x)>695
我们将q14=191筛掉
【】q15=197
D(155236)≈1297
695+197=892
但D(158428)=826
826<892
所以x>155236
D(x)>695
我们将q15=197筛掉
q16=227
D(206116)≈1524
695+227=922
且D(206498)=1042
1042>922
所以x>206116
D(x)>922
我们将q16=227留下
【】q17=239
D(228484)≈1763
922+239=1161
但D(230228)=1142
1142<1162
所以x>228484
D(x)>922
我们将q17=239筛掉
q18=269
D(289444)≈2032
922+269=1191
且D(291008)=1385
1385>1191
所以x>289444
D(x)>1191
我们将q18=269留下
q19=281
D(315844)≈2313
1191+281=1472
且D(317972)=1494
1494>1472
所以x>315844
D(x)>1472
我们将q19=281留下

愚工688

对于≥6的任意大的偶数M来说：
可以用一个下界计算函数 inf(M)来表示，而inf(M)小于偶数M的实际表为两个素数和的数量真值S(m),有
S(m)≥inf(M)= (A-2)*0.5π(1- 2/r )* π[(p1-1)/(p1- 2)] /(1+.21) .--------  { 式1}
式中：
      p1系偶数含有的奇素数因子，p1≤ r ；
      令  k(m)=π[(p1-1)/(p1- 2)]；
    则 k(m)可称为素因子系数；又k(m)值体现了素对数量的波动幅度，因此也可以称为波动系数。
   显然不含有奇素数因子p1的偶数，其素因子系数 k(m)=1 。
   
   从{ 式1}可以知道，偶数素对下界函数 inf(M)也是具有波动性的。它的下界，仅仅是相对该偶数本身的素对真值而言。

  如果要对一个区域的偶数表为两个素数和的表法数S(m)的低位值进行考察，那么就需要排除掉波动系数的影响。把式1中的波动系数略去，合并两个系数，0.5/(1+.21)≈0.413 ，就可以得到偶数M表为两个素数和数量的区域下界计算值infS(m)：
        infS(m) ≈0.413(A-2)*π(1-2/p)，----------- { 式2}
    式中，p取√(M-2)以内的全部奇素数。
  infS(m)计算值取值规律是向上取整值，而不是四舍五入。

区域下界计算值infS(m)的变化有两个规律：
1. 在r不变的区域，p(m)min是个常数，表法数的下界计算值infS(m)是个如同 y=k(x)函数那样的随偶数半值A增大而单调缓慢上升的数值；
2. 在不同的r区域的首个偶数，虽然随偶数增大r会逐级增大，表法数的最低发生概率p(m)min会逐渐下降，但是由于偶数的增大速度远远超过了p(m)min的下降速度，因此各个r区域首位偶数的表法数的下界计算值infS(m)的相互比较，仍然是个随A增大而单调上升的数值。

这就是表明：偶数表为两个素数和的最低数量是随着偶数增大，相应的最大素数r 的增大，而以（r^2+1）为界线的偶数表为两个素数和的最低数量逐步增大。

因此可以得出结论：任意大偶数必然能够表为两个素数和的形式，因而偶数哥猜必定成立 。


最大素数r对应区间首个偶数表为两个素数之和数量的下界计算值infS(m)的计算与实际区域最少素对的偶数的示例：

r=2 、r=3，r=5 的偶数区域：
M= 6       S(m)= 1     Sp(m)≈ .5       δ(m)≈-.5      K(m)= 1       infS(m)≈ .41
M= 12     S(m)= 1     Sp(m)≈ 1.333    δ(m)≈ .333    K(m)= 2       infS(m)≈ .55
M=28    S( 28 )= 2       Sp(m)≈ 1.2      δ(m)≈-.4     K(m)= 1       infS(m)≈ .99     

因为 infS(6)≈ .41 ，向上取整 =1，
所以：任意≥6的偶数表为两个素数之和的表法数不少于1；
实际低位值偶数有 ：S(6)= 1、S(8)= 1、S(12)= 1；

r=7的偶数区域（即7^2+3=52 起始的区域，下同）：
S( 52 )= 3       Sp(m)≈ 1.714    δ(m)≈-.429   K(m)= 1       infS(m)≈ 1.41  

因为 infS(52)≈ 1.41，向上取整= 2，
所以：任意≥52 的偶数表为两个素数之和的表法数不少于2；
实际低位值偶数有 ：S(68)=2 ；

r=11的偶数区域（即11^2+3=124 起始的区域，下同）：
M= 124     S(m)= 5     Sp(m)≈ 3.506     δ(m)≈-.299    K(m)= 1       infS(m)≈ 2.9

因为 infS(124)≈ 2.9，向上取整= 3，
所以：任意≥124 的偶数表为两个素数之和的表法数不少于3；
实际低位值偶数有 ：S(128)= 3；

r=13的偶数区域：
M= 172     S(m)= 6     Sp(m)≈ 4.154     δ(m)≈-.308    K(m)= 1       infS(m)≈ 3.43

因为 infS(172)≈ 3.43，向上取整= 4，
所以：任意≥172 的偶数表为两个素数之和的表法数不少于4；
实际低位值偶数有 ：S(188)= 5；

r=17的偶数区域与r=19的偶数区域：
M= 292     S(m)= 8     Sp(m)≈ 6.283     δ(m)≈-.215    K(m)= 1       infS(m)≈ 5.19
M= 364     S(m)= 14    Sp(m)≈ 9.199     δ(m)≈-.343    K(m)= 1.309   infS(m)≈ 5.81

因为 infS(292)≈ 5.19，向上取整= 6，
所以：任意≥292 的偶数表为两个素数之和的表法数不少于6 ；
实际低位值偶数有 ：S( 332 )= 6 ；

r=23的偶数区域：
M= 532     S(m)= 17    Sp(m)≈ 11.957    δ(m)≈-.297    K(m)= 1.271   infS(m)≈ 7.78

因为 infS(532)≈ 7.78，向上取整= 8，
所以：任意≥532 的偶数表为两个素数之和的表法数不少于8；
实际低位值偶数有 ：S( 542 )= 10 、S(632)= 10；

r=31的偶数区域：
M= 964     S(m)= 18    Sp(m)≈ 14.902    δ(m)≈-.172    K(m)= 1       infS(m)≈ 12.31

因为 infS(964)≈ 12.3，向上取整= 13，
所以：任意≥964 的偶数表为两个素数之和的表法数不少于13；
实际低位值偶数有：S( 992 )= 13 ；

r=37的偶数区域：
M= 1372    S(m)= 27    Sp(m)≈ 24.105    δ(m)≈-.107    K(m)= 1.2     infS(m)≈ 16.6

因为 infS(1372)≈ 16.6，向上取整= 17，
所以：任意≥1372 的偶数表为两个素数之和的表法数不少于17；
实际低位值偶数有：S( 1412 )= 18 ；

r=41的偶数区域：
M= 1684    S(m)= 31    Sp(m)≈ 23.465    δ(m)≈-.243    K(m)= 1       infS(m)≈ 19.4

因为 infS(1682)≈ 19.4，向上取整= 20，
所以：任意≥1682 的偶数表为两个素数之和的表法数不少于20；
实际低位值偶数有：S( 1718 )= 21 ；

……
可以看到，各个不同素数对应的区域下界素对数量计算值infS(m)与不小于该偶数的限定区域偶数的素对最小值是比较接近的。

cuikun-186

某博导称：如果是原创，不同的人有不同的思考，别人很难进入相应的理念。