\(\large\infty\pm n=\infty\;(\forall n\in\mathbb{N})\)

elim

姑且把\(\infty\)理解为大于任何有限数的量. 但这样一来，由于\(\infty\pm 1\) 也大于任何有限数，
就会有\(\infty\pm 1=\infty.\) 如果觉得这么理解\(\infty\)太粗糙，注意到自然数的归纳集定义：
\(\small 1=\varnothing\cup\{\varnothing\}=\{0\},\,2=1\cup\{1\}=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\},\ldots,n=\{0,1,\ldots,n-1\}\)
自然数就是它对应的集合的基数，所以定义 \(\infty = |\mathbb{N}| = \aleph_0\) 为最小(可数)无穷的基数.
定义基数加法 \(\small\alpha+\beta=|A\cup B|\;(A\cap B=\varnothing,\,\alpha=|A|,\,\beta=|B|)\)
于是易见 \(\infty+n=\infty\) 进而 \(\infty\pm n=\infty\;\small(\forall n\in\mathbb{N}).\)

也就是说，当\(B\subset A,\;|B|=n\in\mathbb{N}\) 时，定义  \(|A|-|B|=\alpha-n=|A-B|\)
当 \(\alpha=\aleph_0=\infty\) 时，\(A-B\) 也是可数无穷，所以 \(|A-B|=\infty\)


再回看教科书上关于广义实数(不是超实数)概念的引入，就好理解了.

jzkyllcjl

∞ -∞  为不定式，设前一个∞ 为 lim（n+2）, 后一个 ∞为lim n,,则根据不定式的定值计算法则，这个不定lim n式的值为2.  因此，你的  ∞+n=∞ 不成立。 l

elim

jzkyllcjl 发表于 2023-3-7 03:19
∞ -∞  为不定式，设前一个∞ 为 lim（n+2）, 后一个 ∞为lim n,,则根据不定式的定值计算法则，这个不定li ...

jzkyllcjl 不知道\(\infty\pm n\;(n\in\mathbb{N})\) 不是不定式 \(\infty-\infty\)?