烫手的山芋

yangchuanju · 发表于 2023-3-19 14:36

烫手的山芋
用素数个数的平方求偶数素数对，精度比哈李对数式高一些，不愧为一种好方法；
好不容易地抢到手，但它又非常烫手，捧着烫得难受，扔了又怪可惜。

用哈李对数式2c*∏(p-1)/(p-2)*N/ln(N)^2比较快捷，给定一个偶数，只要分解一下因子，很快就求得该偶数的素数对。
若用N内素数个数的平方计算，要得到任一个偶数以内的素数个数异常繁琐和困难；
从目前有效资料看，仅知道10^28以下10的整幂数（10^1,10^2,…10^28）的素数个数，
以及10^22以内k*10^n以内的素数个数，其中n=1-16时k等于1-10000，n=17时k等于1-1000，n=18-21时k等于1-100，n=22时k等于1-10。
若使用素数个数计算软件可以得到42亿（不到一半的10位数）以内的素数个数和素数表。
但如要计算10位数9876543210的素数对，使用素数个数平方法你将干瞪眼！

虽有素数定理可用，但使用素数定理求得的素数个数小于实际素数个数，实际上回到了哈李对数计算式；
素数的间距不固定，可能相邻（孪生素数），也可能相距很远，例素数89和97相距8,113和127相距14，……
要计算偶数90,92,94,96的素数对数，其内素数个数都是24，计算后4偶数分子相同，分母则一个比一个大，不计波动系数时大偶数素数对的计算值反而是小的，请看第2列数字。
偶数 24^2/N ∏(p-1)/(p-2) c*波*24^2/N 素数对素平方/素对
90 6.4000 2.6667 11.2668 9 1.2519
92 6.2609 1.0000 4.1332 4 1.0333
94 6.1277 1.0000 4.0452 5 0.8090
96 6.0000 2.0000 7.9219 7 1.1317

偶数哈李式哈李/素对 ∏(p-2)/p 连乘积式连乘/素对
90 7.8248 0.8694 0.1429 8.5714 0.9524
92 2.9704 0.7426 0.1429 3.2857 0.8214
94 3.0063 0.6013 0.1429 3.3571 0.6714
96 6.0841 0.8692 0.1429 6.8571 0.9796

yangchuanju · 发表于 2023-3-19 14:38

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-3-19 18:31 编辑

（接上楼）
再计算偶数114,116,118,120,122,124,126的素数对数，其内素数个数都是29，计算后7偶数分子相同，分母则一个比一个大，不计波动系数时大偶数素数对的计算值反而是小的。
偶数 29^2/N ∏(p-1)/(p-2) c*波*29^2/N 素数对素平方/素对
114 7.3772 2.0000 9.7403 10 0.9740
116 7.2500 1.0000 4.7862 6 0.7977
118 7.1271 1.0000 4.7051 6 0.7842
120 7.0083 2.6667 12.3377 12 1.0281
122 6.8934 1.0000 4.5508 4 1.1377
124 6.7823 1.0000 4.4774 5 0.8955
126 6.6746 2.4000 10.5752 10 1.0575

偶数哈李式哈李/素对 ∏(p-2)/p 连乘积式连乘/素对
114 6.7100 0.6710 0.1429 8.1429 0.8143
116 3.3889 0.5648 0.1429 4.1429 0.6905
118 3.4227 0.5705 0.1429 4.2143 0.7024
120 9.2169 0.7681 0.1429 11.4286 0.9524
122 3.4898 0.8724 0.1169 3.5649 0.8912
124 3.5231 0.7046 0.1169 3.6234 0.7247
126 8.5351 0.8535 0.1169 8.8364 0.8836
由于偶数较小，比值不稳定，且无规律出现；但大体可见素数个数平方计算值与素数对的比值大于哈李计算式值与素数对的比值，也大于连乘积计算值与素数对的比值。

yangchuanju · 发表于 2023-3-19 14:40

已知2*19#等于19399380，8位数，可以查知其内素数个数为1234841；
2*23#等于446185740，9位数，可以查知其内素数个数为23661448；
但2*29#等于12939386460，11位数，素数个数计算软件不干了！

对于2*19#=19399380，8位数，可以查知其内素数个数为1234841，最大素数是19399379，下一个素数是19399411，相距32；
偶数 1234841^2/N ∏(p-1)/(p-2) c*波*1234841^2/N 素数对素平方/素对
19399380 78602.11 4.3807 227317.55 226758 1.0025
19399382 78602.11 1.0029 52040.52 51979 1.0012
19399384 78602.10 1.0093 52375.06 52310 1.0012
19399386 78602.09 2.0000 103780.20 103653 1.0012
19399388 78602.08 1.0191 52881.46 52736 1.0028
19399390 78602.07 1.3333 69186.78 68810 1.0055
19399392 78602.07 2.0000 103780.17 103583 1.0019
19399394 78602.06 1.2000 62268.09 62196 1.0012
19399396 78602.05 1.1132 57766.50 57578 1.0033
19399398 78602.04 2.0260 105127.93 104723 1.0039
19399400 78602.03 1.3333 69186.75 69129 1.0008
19399402 78602.03 1.1137 57792.06 57439 1.0061
19399404 78602.02 2.0000 103780.10 103093 1.0067
19399406 78602.01 1.0955 56844.25 56471 1.0066
19399408 78602.00 1.2000 62268.05 62118 1.0024
19399410 78601.99 2.6782 138973.69 138559 1.0030

偶数哈李式哈李/素对 ∏(p-2)/p 连乘积式连乘/素对
19399380 199234.14 0.8786 0.0118 250377.24 1.1042
19399382 45611.30 0.8775 0.0118 57319.65 1.1027
19399384 45904.52 0.8775 0.0118 57688.14 1.1028
19399386 90958.97 0.8775 0.0118 114308.00 1.1028
19399388 46348.38 0.8789 0.0118 58245.94 1.1045
19399390 60639.33 0.8813 0.0118 76205.35 1.1075
19399392 90959.00 0.8781 0.0118 114308.04 1.1035
19399394 54575.40 0.8775 0.0118 68584.83 1.1027
19399396 50629.95 0.8793 0.0118 63626.58 1.1051
19399398 92140.31 0.8798 0.0118 115792.59 1.1057
19399400 60639.35 0.8772 0.0118 76205.39 1.1024
19399402 50652.39 0.8818 0.0118 63654.79 1.1082
19399404 90959.05 0.8823 0.0118 114308.11 1.1088
19399406 49821.69 0.8823 0.0118 62610.85 1.1087
19399408 54575.44 0.8786 0.0118 68584.88 1.1041
19399410 121804.87 0.8791 0.0118 153072.02 1.1047

yangchuanju · 发表于 2023-3-19 14:41

（接上楼）
从第2列数据看，数值偶数的增大，素数个数平方除以偶数反而逐渐减少；
素数个数平方与素数对的比值都大于1，约为1.00几，与1的接近程度比哈李式好得多（0.87几），但仍不是1呀，仍有误差呀！
素数个数平方与素数对的比值都大于1，约为1.00几，与1的接近程度也比连乘积式好得多（1.10几），但仍不是1呀，仍有误差呀！
主要问题是，偶数再大一些，偶数以内的素数个数你无法统计出来呀！

我的一个帖子曾经涉及到可用素数个数计算偶数的素数对，不料立刻引起一些人前来挣版权，
在此我郑重声明，我不要版权，也不介入你们的版权之争。
正如帖子开头所说，这只不过是一块烫手的山芋，捧着烫手，扔了可惜！

重生888@ · 发表于 2023-3-19 15:08

用真实素数个数，当然烫手！不但充分大，你得不到（真实素数个数），因为哈李公式已暗含一次，再使用就重了。哪来准确？

cuikun-186 · 发表于 2023-3-19 15:18

数学是逻辑推理的天堂

cuikun-186 · 发表于 2023-3-19 15:20

本帖最后由 cuikun-186 于 2023-3-19 11:16 编辑

r2(N)>[π（N）]^2/N≥1已经完全证明了哥猜！

至于如何获得其精确值是两个不同的命题！

这在逻辑上是有界定的！

重生888@ · 发表于 2023-3-19 15:27

不理解90 （9） 92 （4） 94（5） 96（7）的素数对不同吧？
90有四种组合       7+23 11+19 13+17    29+31
92有二种组合       13+19 31+31
94有两种组合       11+23 17+17
96有三种组合       7+29    13+23 17+19
靠连乘积能解决吗？

cuikun-186 · 发表于 2023-3-19 15:34

本帖最后由 cuikun-186 于 2023-3-20 09:36 编辑

r2(N)>[π（N）]^2/N≥1就是证明。
因为素数定理告诉人们π（N）接近于N/lnN,
从而：
r2(N)≥N/(lnN)^2，N/(lnN)^2该式是增函数。
这在数理逻辑推理是严谨的！

yangchuanju · 发表于 2023-3-19 20:59

素数个数网页
Tables of values of pi(x) and of pi2(x)
网址https://sweet.ua.pt/tos/primes.html

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