两互素数和

yangchuanju

二个与6互素的互素数和可涵盖全体偶数吗？
该题目本身就有一个错误，应将“偶数”改为“正偶数”，负偶数和0也叫偶数。
谢谢时空伴随者老师及时指正！（见4楼贴）
下面各贴中的“偶数”皆指“正偶数”，不再一一改正，请谅解。

与6互素的整数有1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31，……
偶数2=1+1,6=1+5,8=1+7,10=5+5,12=1+11=5+7,14=1+13=7+7,
16=5+11,18=1+17=5+13=7+11,20=1+19=7+13，……
但偶数4无法用二个与6互素的互素数和表示，其余偶数均可。

表1  二个与6互素的互素数的和
+        1        5        7        11        13        17        19        23        25        29        31
1        2        6        8        12        14        18        20        24        26        30        32
5        6        10        12        16        18        22        24        28        30        34        36
7        8        12        14        18        20        24        26        30        32        36        38
11        12        16        18        22        24        28        30        34        36        40        42
13        14        18        20        24        26        30        32        36        38        42        44
17        18        22        24        28        30        34        36        40        42        46        48
19        20        24        26        30        32        36        38        42        44        48        50
23        24        28        30        34        36        40        42        46        48        52        54
25        26        30        32        36        38        42        44        48        50        54        56
29        30        34        36        40        42        46        48        52        54        58        60
31        32        36        38        42        44        48        50        54        56        60        62

偶数        种数        15种数
2        1        1
4        0        0
6        2        2
8        2        1
10        1        1
12        4        2
14        3        1
16        2        1
18        6        2
20        4        1
22        3        1
24        8        2
26        5        1
28        4        1
30        10        2

种数为表中所涉及的二互素数1-31之和所构成的偶数2-30之个数；
15种数表示仅统计第2、第3列（1+、5+）中的偶数2-30的个数。

yangchuanju

二个与6互素的互素数和可涵盖全体偶数吗？
为向证明哥猜的条件逐步靠近，去掉与6互素的1，加上第一个奇素数3，
偶素数2仅在哥猜数4=2+2中出现，暂且略去不予考虑。
偶数2、4无法用二个与6互素的互素数（不含1）及3的和表示，其余偶数均可。

表2  二个与6互素的互素数（不含1）及3的和
+        3        5        7        11        13        17        19        23        25        29        31
3        6        8        10        14        16        20        22        26        28        32        34
5        8        10        12        16        18        22        24        28        30        34        36
7        10        12        14        18        20        24        26        30        32        36        38
11        14        16        18        22        24        28        30        34        36        40        42
13        16        18        20        24        26        30        32        36        38        42        44
17        20        22        24        28        30        34        36        40        42        46        48
19        22        24        26        30        32        36        38        42        44        48        50
23        26        28        30        34        36        40        42        46        48        52        54
25        28        30        32        36        38        42        44        48        50        54        56
29        32        34        36        40        42        46        48        52        54        58        60
31        34        36        38        42        44        48        50        54        56        60        62

偶数        种数        35种数        357种数
2        0        0        0
4        0        0        0
6        1        1        1
8        2        2        2
10        3        2        3
12        2        1        2
14        3        1        2
16        4        2        2
18        4        1        2
20        4        1        2
22        5        2        2
24        6        1        2
26        5        1        2
28        6        2        2
30        8        1        2

种数为表中所涉及的二互素数5-31及3的和所构成的偶数2-30之个数；
35种数表示仅统计第2、第3列（3+、5+）中的偶数2-30的个数；
357种数表示仅统计第2、第3、第4列（3+、5+、7+）中的偶数2-30的个数。

证明：
与6互素的互素数中缺少奇数3,9,15,21，……，两两相加得不到4；
对于任意大于等于6的偶数，都可以表示成N=1+(N-1)=5+(N-5)；仅统计第1表（1楼表）的第2-3列数据，从15种数即可看出，从6开始的偶数互素数对个数都是2,1,1并循环，且趋近于无穷大。
对于任意大于等于6的偶数，都可以表示成N=3+(N-3)=5+(N-5)；仅统计第2表（2楼表）的第2-3列数据，从35种数即可看出，从8开始的偶数互素数对个数都是2,1,1并循环，且趋近于无穷大。
对于任意大于等于6的偶数，都可以表示成N=3+(N-3)=5+(N-5)=7+(N-7)；仅统计第2表的第2-4列数据，从357种数即可看出，6,8,10的互素数对分别是1,2,3，从,12开始的偶数互素数对个数都是2，且趋近于无穷大。
对于任意大于等于6的偶数，都可以表示成二个与6互素的互素数（不含1）及3的和，命题得证。

yangchuanju

二个与30互素的互素数和可涵盖全体偶数吗？偶数4,6,10,16不能。
与30互素的互素数有1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59，……
二个与30互素的互素数（不含1）及3、5的和可涵盖全体偶数吗？偶数2,4不能，其余皆能。

表3  二个与30互素的互素数（不含1）及3、5的和
+        3        5        7        11        13        49        53        59
3        6        8        10        14        16        52        56        62
5        8        10        12        16        18        54        58        64
7        10        12        14        18        20        56        60        66
11        14        16        18        22        24        60        64        70
13        16        18        20        24        26        62        66        72
17        20        22        24        28        30        66        70        76
19        22        24        26        30        32        68        72        78
23        26        28        30        34        36        72        76        82
29        32        34        36        40        42        78        82        88
31        34        36        38        42        44        80        84        90
37        40        42        44        48        50        86        90        96
41        44        46        48        52        54        90        94        100
43        46        48        50        54        56        92        96        102
47        50        52        54        58        60        96        100        106
49        52        54        56        60        62        98        102        108
53        56        58        60        64        66        102        106        112
59        62        64        66        70        72        108        112        118
61        64        66        68        72        74        110        114        120
67        70        72        74        78        80        116        120        126
71        74        76        78        82        84        120        124        130
73        76        78        80        84        86        122        126        132
77        80        82        84        88        90        126        130        136
79        82        84        86        90        92        128        132        138
83        86        88        90        94        96        132        136        142
89        92        94        96        100        102        138        142        148
91        94        96        98        102        104        140        144        150
97        100        102        104        108        110        146        150        156
101        104        106        108        112        114        150        154        160
103        106        108        110        114        116        152        156        162
107        110        112        114        118        120        156        160        166
109        112        114        116        120        122        158        162        168
113        116        118        120        124        126        162        166        172
119        122        124        126        130        132        168        172        178
含互素数17-43的各列被隐藏。

时空伴随者

所有与6互素的数为6n±1，n为整数，组合即得6m，6m±2所有偶数。
不要局限于正整数，7+(-5)=2,11+(-7)=4
猜想：每个偶数都有无限个素数对解。

yangchuanju

表4  偶数2-120由3,5,7,11与30互素的互素数（不含1）合成的种数表
偶数        3-7        3-11种数        偶数        3-7        3-11种数
2        0        0        62        1        1
4        0        0        64        2        3
6        1        1        66        2        2
8        2        2        68        1        1
10        3        3        70        1        2
12        2        2        72        1        2
14        2        3        74        2        2
16        2        3        76        2        2
18        2        3        78        2        3
20        2        2        80        2        2
22        2        3        82        2        3
24        2        3        84        2        3
26        2        2        86        2        2
28        1        2        88        1        2
30        1        2        90        1        2
32        1        1        92        1        1
34        2        3        94        2        3
36        2        2        96        2        2
38        1        1        98        1        1
40        1        2        100        1        2
42        1        2        102        1        2
44        2        2        104        2        2
46        2        2        106        2        2
48        2        3        108        2        3
50        2        2        110        2        2
52        2        3        112        2        3
54        2        3        114        2        3
56        2        2        116        2        2
58        1        2        118        1        2
60        1        2        120        1        2

3-7（种数）表示仅统计表3的第2、第3、第4列（3+、5+、7+）中的偶数2-120的个数；
3-11种数表示仅统计第2-5列（3+、5+、7+、11+）中的偶数2-120的个数。

与30互素的互素数中缺少奇数3,5,9,15,21,25,27,……，两两相加得不到偶数4,6,10,16；
二个与30互素的互素数（不含1）及3、5的和可涵盖全体偶数吗？偶数2,4不能，其余皆能。

证明
对于任意大于等于6的偶数，都可以表示成N=3+(N-3)=5+(N-5)=7+(N-7)；从表第2-4列数据和3-7种数即可看出，
偶数2-30的互素数对个数分别是0,0,1,2.3,2，……未循环；
偶数32-60-90-120的互素数对个数分别是1,2,2,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,1,1，循环出现，直至无穷。
（亦可看着循环是从14开始的，14-44-74-94各为一个循环节）
对于任意大于等于6的偶数，都可以表示成二个与30互素的互素数（不含1）及3、5的和，命题得证。

yangchuanju

所有偶数按模30的余数可分成15类：余2,4,6，……，28,30；
分别表示成30k+2，+4，+6，……，+28，+30；
当k=0时，且小素数仅用3,5,7时有：       
2        不能表示成两个素数之和
4        不能表示成两个奇素数之和，但可以表示成2+2
6        =3+3
8        =3+5=5+3
10        =3+7=5+5=7+3
12        =5+7=7+5
14        =3+11+7+7
16        =3+13=5+11
18        =5+13=7+11
20        =3+17=7+13
22        =3+19=5+17
24        =5+19=7+17
26        =3+23=7+19
28        =5+23
30        =7+23

当k≥1时，且小素数仅用3,5,7时有：               
30k+2                3+30(k-1)+29
30k+4                3+30(k-1)+31=5+(k-1)+29
30k+6                5+30(k-1)+31=7+(k-1)+29
30k+8                7+30(k-1)+31
30k+10                3+30(k-1)+37
30k+12                5+30(k-1)+37
30k+14                3+30(k-1)+41=7+30(k-1)+37
30k+16                3+30(k-1)+43=5+30(k-1)+41
30k+18                5+30(k-1)+43=7+30(k-1)+41
30k+20                3+30(k-1)+47=7+(30k-1)+43
30k+22                3+30(k-1)+49=5+30(k-1)+47
30k+24                5+30(k-1)+49=7+30(k-1)+47
30k+26                3+30(k-1)+53=7+30(k-1)+49
30k+28                5+30(k-1)+53
30k+30                7+30(k-1)+53

对于任意大于等于6的偶数，都可以表示成二个与30互素的互素数（不含1）及3、5的和。

yangchuanju

从2楼给出的《表2  二个与6互素的互素数（不含1）及3的和》来看，
若小互素数仅用3和5时从偶数12开始，互素数对数1,1,2循环出现，3个偶数一循环；
小互素数仅用3,5,7时从偶数12开始，互素数对数都是2。
从5楼给出的《表4  偶数2-120由3,5,7,11与30互素的互素数（不含1）合成的种数表》来看，
若小互素数仅用3，5和7时从偶数32开始，互素数对数1,2,2,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,1,1循环出现，15个偶数一循环；
小互素数仅用3,5,7,11时互素数对数不再等于某一个给定常数。

继续下去，若用二个与210互素的互素数（不含1）及3,5,7的和合成偶数时，
若小互素数仅用3,5,7,11时，偶数212-420,422-630的互素数对数不尽相同，没有循环出现迹象，尚有一些偶数不能由二个互素数相加而合成；
改小互素数用3,5,7,11,13时，偶数212-420,422-630的互素数对数仍不相同，没有循环出现迹象，更没有等于某个常数的迹象，仍有一些偶数不能由二个互素数相加而合成。
在第1偶数段（2-210）中偶数2,4,98,122不能由3+，5+，7+，11+另一个与210互素的互素数合成；
在第2偶数段（212-420）中偶数308,332不能由3+，5+，7+，11+另一个与210互素的互素数合成；
在第3偶数段（422-630）中偶数508,604不能由3+，5+，7+，11+另一个与210互素的互素数合成。
增加1个小互素数13，在第1偶数段（2-210）中偶数2,4,98不能由3+，5+，7+，11+，13+另一个与210互素的互素数合成；
在第2偶数段（212-420）中偶数308不能由3+，5+，7+，11+，13+另一个与210互素的互素数合成；
在第3偶数段（422-630）中偶数508,604不能由3+，5+，7+，11+，13+另一个与210互素的互素数合成。

本想通过二个互素数和的演变证明哥德巴赫猜想，看来此路不通。