设 H 是 ΔABC 的垂心，已知 AB=3CH ，AC=2BH ，求 ∠A

ccmmjj126

一道小题。那道旧题是正切值分别为1/2和1/3的两锐角和等于45度。

波斯猫猫

若tanα=1/2，tanβ=1/3（α，β为两锐角），则α+β=45°是显然的。

ccmmjj

呵呵，图怎么没了？我补一个图吧。
如图，AB=3CH, AC=2BH,求角A。

ccmmjj

这题没热度。我来解一下吧！
如图，作三角形ABC的外接圆，作直径AD，连接BD、CD。则∠ACD=∠ABD=90度，所以四边形BHCD是平行四边形。
故得BD=CH，CD=BH。于是tan∠BAD=1/3,tan∠CAD=1/2.所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=45度。

王守恩

ccmmjj 发表于 2023-3-27 17:24
呵呵，图怎么没了？我补一个图吧。
如图，AB=3CH, AC=2BH,求角A。

如图，AB=3CH, AC=2BH,求角A。

记CH=1,∠HBC=B,∠HCB=C,分析可知A**H四点共圆

\(\frac{1}{\sin B}=\frac{BH}{\sin C}=\frac{BC}{\sin(B+C)},\frac{3}{\cos B}=\frac{2BH}{\cos C}=\frac{BC}{\sin(B+C)},\)

\(化简：3\tan B=2\tan C=1,得：B+C=45°\)

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子已收藏。

王广喜

这道“小题”很有意思，设计非常巧妙

王守恩

ccmmjj 发表于 2023-3-27 17:24
呵呵，图怎么没了？我补一个图吧。
如图，AB=3CH, AC=2BH,求角A。

记∠HBC=B,∠HCB=C,   正弦定理(前面2个等号用1次,后面2个等号用1次)

\(\frac{\sin B}{\sin B}=\frac{\sin C}{\sin C}=\frac{\sin(B+C)}{\sin(B+C)}=\frac{3\sin B}{\cos B}=\frac{2\sin C}{\cos C}\)