曲线 y=x^3-ax 有两条斜率为 1 的平行切线，已知两条切线之间的距离为 8 ，求实数 a

dodonaomikiki

2023，上海高三数学竞赛，平行切线之间的距离

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波斯猫猫

题：曲线 y=x^3-ax 有两条斜率为 1 的平行切线，已知两条切线之间的距离为 8 ，求实数 a。

思路：设（r，r^3-ar）为y=x^3-ax 上的点，则其切线L1的斜率k=3r^2-a。

故，L1: y-(r^3-ar)=(3r^2-a)(x-r)，即L1: (3r^2-a)x-y-2r^3=0。

同理，设（e，e^3-ae）为y=x^3-ax 上的点(e≠r)，则其切线L2: (3e^2-a)x-y-2e^3=0。

因两条平行切线的斜率为 1 ，故3r^2-a=3e^2-a=1，即r^2=e^2，亦即e=-r。

在L1上取一点（0，-2r^3），则该点到L2的距离为8，即∣2r^3-2e^3∣/√[(3e^2-a)^2+1]=8，

或∣r^3-e^3∣=4√2，∣2r^3∣=4√2，r^2=2，由3r^2-a=1，得a=5。

luyuanhong

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