【资料】椭圆之幂定理，对比圆幂定理

dodonaomikiki

目前还未找到，非常清晰的证明途径！
故而寻求大咖帮助

dodonaomikiki

\begin{align*}
OK  &=r\\
\Longrightarrow    \frac{r^2cos^2\alpha}{  a^2 }+ \frac{r^2sin^2\alpha}{  b^2 }&=1\\
\Longrightarrow    r^2&=\frac{1}{   \frac{cos^2\alpha}{  a^2 }+ \frac{sin^2\alpha}{  b^2 }  }\\
\end{align*}


\(Set:  PB=W\)
\(P(x_0,  y_0)\)
\(B(    x_0+Wcos\alpha,  y_0 +Wsin   \alpha       )\)
\begin{align*}
\Longrightarrow      \frac{x_0+Wcos\alpha}{  a^2 }+ \frac{y_0 +Wsin   \alpha }{  b^2 }&=1\\

\Longrightarrow   (     \frac{cos^2\alpha}{  a^2 } +      \frac{sin^2\alpha}{  b^2 }           )W^2+(     \frac{2x_0cos\alpha}{  a^2 }    +         \frac{2y_0sin\alpha}{  b^2 }         )W+ \frac{x_0^2}{  a^2 }+    \frac{y_0^2}{  b^2 }  -1  &=0\\
\Longrightarrow   PA  \bullet   PB&=\frac{  |\frac{x_0^2}{  a^2 }+    \frac{y_0^2}{  b^2 }  -1  |  }{  \frac{cos^2\alpha}{  a^2 } +      \frac{sin^2\alpha}{  b^2 }         }\\
\Longrightarrow   \frac{  PA  \bullet   PB}{  r^2 }   &=\frac{x_0^2}{  a^2 }+    \frac{y_0^2}{  b^2 }  -1 \\
\Longrightarrow  Likewise,  \frac{  PC  \bullet   PD}{  r'^2 }   &=\frac{x_0^2}{  a^2 }+    \frac{y_0^2}{  b^2 }  -1 \\
\Longrightarrow \frac{  PA  \bullet   PB}{  r^2 }   &= \frac{  PC  \bullet   PD}{  r'^2 }  

\end{align*}

dodonaomikiki

It's   obivious   that
\begin{align*}
\frac{  PA  \bullet   PB}{ PC  \bullet   PD }   &=         \frac{  cos^2\beta/a ^2+   sin^2\beta/b ^2               }{             cos^2\alpha/a ^2+   sin^2\alpha/b ^2 }  \\
&=     \frac{ b ^2 cos^2\beta+   a ^2 sin^2\beta               }{    b ^2 cos^2\alpha+   a ^2 sin^2\alpha            }\\
&=     \frac{ b ^2 cos^2\beta+   a ^2(1-cos^2\beta   )            }{    b ^2 cos^2\alpha+   a ^2 (1-    cos^2\alpha )            }\\
&= \frac{     a ^2     -( a ^2-b ^2)  cos^2\beta            }{     a ^2     -( a ^2-b ^2)  cos^2\alpha              }\\
  &=  \frac{     a ^2     -c ^2 cos^2\beta            }{     a ^2     -c^2 cos^2\alpha              }\\
&= \frac{     1    -e^2 cos^2\beta            }{    1     -e^2 cos^2\alpha              } \\
\end{align*}

dodonaomikiki

jushuo据说，本来教材上是有的这玩意儿！


后面，被删除啦好可惜！
夯实基础知识，锻炼逻辑思维，同时一并扩展眼界的东西~~~这么好的东东，
竟然会被删除
有些教材编写者，
也真的是，发昏啦！