长方体 ABCD-EFGH 中 AD=12，DH=6，CD=6，求 ACH 上点到 AD,DH,CD 距离平方和的最小值

wintex

請問數學

liangchuxu

三点决定一个平面。建立坐标系D(0,0,0)，A(12,0,0)，H(0,6,0)，C(0,6,0)，将三点坐标代入平面方程。

波斯猫猫

可考虑：
做到这一步后有，平面ACH: x+2y+2z=12，(d1)^2+(d2)^2+(d3)^2=2(x^2+y^2+z^2)
而f(y,z)=x^2+y^2+z^2=(2y+2z-12)^2+y^2+z^2=5y^2+5z^2+8yz-48y-48z+144，
令其偏导为0得，10y+8z-48=10z+8y-48=0，即y=z=8/3，x=4/3。
故，[(d1)^2+(d2)^2+(d3)^2]min=2[(4/3)^2+(8/3)^2+(8/3)^2]=32.

nasaliu2012

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